MATLAB信号处理---学习小案例(9)---Z变换的性质

线性性质
假设$Z[x_1(k)]=X_1(z)，(|z|>R_{x1})，Z[x_2(k)]=X_2(z)，(|z|>R_{x2})$
则有$Z[a{x}_1(k)+b{x}_2(k)]=a{X}_1(z)+b{X}_2(z)，其中a，b为任意常数$
时域移位
假设$Z[f(t)]=F(z)$
则有$Z[f(t+nT)]=z^n[F(z)-{\sum }_{k=0}^{n-1}f(kT)z^{-k}]$
假设$Z[f(t)]=F(z)$
则有$Z[f(t-nT)]=z^{-n}F(z)$
时域扩展性
若函数f(t)有Z变换F(z)，则$Z[e^{{}_{+}^{-}at}f(t)]=F(z{e}^{{}_{-}^{+}at})$
根据Z变换定义有$Z[e^{{}_{+}^{-}at}f(t)]={\sum }_{k=0}^{\infty }f(kT)e^{{}_{+}^{-}akT}{z}^{-k}$
令$z_1=z{e}^{{}_{-}^{+}aT}$，则上式可写成$Z[e^{{}_{+}^{-}at}f(t)]={\sum }_{k=0}^{\infty }f(kT)z_1^{-k}=F(z_1)$
代入$z_1=z{e}^{{}_{-}^{+}aT}$，得$Z[e^{{}_{+}^{-}at}f(t)]=F(z{e}^{{}_{-}^{+}aT})$
时域卷积性质
已知$$\begin{gathered} x(k)\leftrightarrow X(z)，({\alpha }_1<|z|<{\beta }_1) \\ h(k)\leftrightarrow H(z)，({\alpha }_2<|z|<{\beta }_2) \end{gathered}$$
则有$x(k)\ast h(k)\leftrightarrow X(z)H(z)$
微分性
已知$x(k)\leftrightarrow X(z)，\alpha <|z|<\beta$
则有$kx(k)\leftrightarrow -z\frac{dX(z)}{dz}，\alpha <|z|<\beta$
积分性
已知$x(k)\leftrightarrow X(z)，\alpha <|z|<\beta$
则有$\frac{x(k)}{k+m}\leftrightarrow z^m{\int }_z^{\infty }\frac{x(\eta )}{{\eta }^{m+1}}d\eta ，\alpha <|z|<\beta$
时域求和
已知$x(k)\leftrightarrow X(z)，\alpha <|z|<\beta$
则有$f(k)={\sum }_{i=-\infty }^{k}x(i)\leftrightarrow \frac{z}{z-1}X(z)，max(a，1)<|z|<\beta$
初值定理
如果函数f(t)的Z变换为F(z)，并存在极限${\lim }_{z\to \infty }F(z)$，则
$li{m}_{k\to 0}f(kT)={\lim }_{z\to \infty }F(z)$
终值定理
假定f(t)的Z变换为F(z)，并假定函数$(1-z^{-1})F(z)$在z平面的单位圆上或圆外没有极点，则
${\lim }_{k\to \infty }f(kT)={\lim }_{z\to 1}(1-z^{-1})F(z)$

参考文献：

1. 《精通MATLAB信号处理》，沈再阳编写，清华大学出版社