简 介： 本文给出了z变换的线性与指数加权特性。
关键词： ZT，线性加权，指数加权
§01 数学原理
z变换中序列的加权特性包 含着线性加权和指数加权特性。
1.1 序列线性加权
Z变换序列线性加权性质，也称为 z 域微分性质。
如果 X ( z ) = Z { x [ n ] } X\left( z \right) = Z\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} X(z)=Z{
x[n]} 那么 Z { n ⋅ x [ n ] } = − z d d z X [ z ] Z\left\{ {n \cdot x\left[ n \right]} \right\} = - z{d \over {dz}}X\left[ z \right] Z{
n⋅x[n]}=−zdzdX[z]
Z { n m x [ n ] } = [ − z d d z ] m X ( z ) Z\left\{ {n^m x\left[ n \right]} \right\} = \left[ { - z{d \over {dz}}} \right]^m X\left( z \right) Z{
nmx[n]}=[−zdzd]mX(z) 其中 [ − z d d z ] m X ( z ) = − z d d z { − z d d z [ − z d d z ⋯ ( − z d d z X ( z ) ) ] } \left[ { - z{d \over {dz}}} \right]^m X\left( z \right) = - z{d \over {dz}}\left\{ { - z{d \over {dz}}\left[ { - z{d \over {dz}} \cdots \left( { - z{d \over {dz}}X\left( z \right)} \right)} \right]} \right\} [−zdzd]mX(z)=−zdzd{
−zdzd[−zdzd⋯(−zdzdX(z))]}
z变换中序列线性加权特性，也称z变换的z域微分性质。对于序列 x[n]，每一项分别乘以自变量 n，即自变量的一次多项式， 这个过程称为线性加权。那么加权后序列的 z 变换是 对原序列的 z 变换求导之后，再乘以 -z 。
这个性质可以推广到 对序列 使用 n 的 m 次方加权， 对应的 z 变换就是原序列的 z 变换进行 m 次求导和乘以 -z 。
证明过程也比较简单。 直接对 z 变换的公示 X ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] z − n X\left( z \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right]z^{ - n} } X(z)=n=−∞∑+∞x[n]z−n 两边同时对 z 进行求导， 然后交换累加和求导 d X ( z ) d z = d d z ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] z − n = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] d d z ( z − n ) { {dX\left( z \right)} \over {dz}} = {d \over {dz}}\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right]z^{ - n} } = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right]{d \over {dz}}\left( {z^{ - n} } \right)} dzdX(z)=dzdn=−∞∑+∞x[n]z−n=n=−∞∑+∞x[n]dzd(z−n) = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] ( − n ) z − n − 1 = − z − 1 ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] z − n = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right]\left( { - n} \right)z^{ - n - 1} } = - z^{ - 1} \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right]z^{ - n} } =n=−∞∑+∞x[n](−n)z−n−1=−z−1n=−∞∑+∞x[n]z−n 对于累加和中每一项求导之后， 就会出现 -n， z 的 （-n-1） 次方。 将 -z 的 -1 次方提到累加和之外， 剩下的就是对 n 乘以 x[n] 的 z 变换。
最后整理可得序列线性加权定理。 Z { n ⋅ x [ n ] } = − z d d z X ( z ) Z\left\{ {n \cdot x\left[ n \right]} \right\} = - z{d \over {dz}}X\left( z \right) Z{ n⋅x[n]}=−zdzdX(z) 这个证明过程迭代应用， 也可以证明序列的多项式加权中。
1.2 序列指数加权
Z 变换的指数加权性质，也称 z 域尺度变换。
如果 X ( z ) = Z { x [ n ] } , ( R x 1 < ∣ z ∣ < R x 2 ) X\left( z \right) = Z\left\{ {x\left[ n \right]} \right\},\,\,\,\left( {R_{x1} < \left| z \right| < R_{x2} } \right) X(z)=Z{ x[n]},(Rx1<∣z∣<Rx2) 那么 Z { a n x [ n ] } = X ( z a ) , ( R x 1 < ∣ z a ∣ < R x 2 ) Z\left\{ {a^n x\left[ n \right]} \right\} = X\left( { {z \over a}} \right),\,\,\,\left( {R_{x1} < \left| { {z \over a}} \right| < R_{x2} } \right) Z{ anx[n]}=X(az),(Rx1<∣∣∣az∣∣∣<Rx2) 由此可得 Z { a − n x [ n ] } = X ( a z ) , ( R x 1 < ∣ a z ∣ < R x 2 ) Z\left\{ {a^{ - n} x\left[ n \right]} \right\} = X\left( {az} \right),\,\,\,\,\,\,\left( {R_{x1} < \left| {az} \right| < R_{x2} } \right) Z{ a−nx[n]}=X(az),(Rx1<∣az∣<Rx2) Z { ( − 1 ) n x [ n ] } = X ( − z ) ( R x 1 < ∣ z ∣ < R x 2 ) Z\left\{ {\left( { - 1} \right)^n x\left[ n \right]} \right\} = X\left( { - z} \right)\,\,\,\left( {R_{x1} < \left| z \right| < R_{x2} } \right) Z{ (−1)nx[n]}=X(−z)(Rx1<∣z∣<Rx2)
在 z 变换中，序列指数加权性质是指》》序列乘以一个指数序列， 结果的 z 变换是原序列的 z 变换在 z 平面中进行尺度展缩。 特别是，当指数序列为 （-1）的 n 次方时， 相当于原来序列交替改变符号， 对应的 z 变换则是在 z 平面上关于原点旋转180°。
证明指数加权性质， 可以直接利用 z 变换公式即可。 将 a 的 n 次方，乘以 x[n] 代入 z 变换公式， 把 a 的 n 次方与 z 的 -1 次方结合， 形成 a 分之 z 的 -1 次方。 进而就可以得到对应的 z 变换结果， 此时对应的结果变量为 a 分之 z 。
§02 应用举例
下面给出两个例题， 分别说明z变换的线性加权与指数加权性质的应用。
2.1 求单位斜变的z变换
如果已知 Z { u [ n ] } = z z − 1 Z\left\{ {u\left[ n \right]} \right\} = {z \over {z - 1}} Z{ u[n]}=z−1z ，求 n ⋅ u [ n ] n \cdot u\left[ n \right] n⋅u[n] 的 z 变换。
◎ 求解：
根据 z 变换的线性加权特性，可得 Z { n u [ n ] } = − z d d z Z { u [ n ] } = − z d d z ( z z − 1 ) = z ( z − 1 ) 2 Z\left\{ {nu\left[ n \right]} \right\} = - z{d \over {dz}}Z\left\{ {u\left[ n \right]} \right\} = - z{d \over {dz}}\left( {
{z \over {z - 1}}} \right) = {z \over {\left( {z - 1} \right)^2 }} Z{
nu[n]}=−zdzdZ{
u[n]}=−zdzd(z−1z)=(z−1)2z
第一个例题是一直单位阶跃序列的z变换， 求单位斜变信号的z变换。 直接利用z变换的线性加权特性， 单位斜变信号的z变换等于单位阶跃信号的z变换， 求导之后，再乘以-z。 具体求解化简之后， 最终的结果等于z除以(z-1)的平方。
2.2 求指数震荡序列z变换
如果已知 Z { cos n ω 0 ⋅ u [ n ] } = z ( z − cos ω 0 ) z 2 − 2 z cos ω 0 + 1 Z\left\{ {\cos n\omega _0 \cdot u\left[ n \right]} \right\} = { {z\left( {z - \cos \omega _0 } \right)} \over {z^2 - 2z\cos \omega _0 + 1}} Z{ cosnω0⋅u[n]}=z2−2zcosω0+1z(z−cosω0) 收敛域为 ( ∣ z ∣ > 1 ) \left( {\left| z \right| > 1} \right) (∣z∣>1)。 求序列 β n cos n ω 0 ⋅ u [ n ] \beta ^n \cos n\omega _0 \cdot u\left[ n \right] βncosnω0⋅u[n] 的 z 变换。
;◎ 求解： 根据 z 变换的指数加权性质
Z { β n cos n ω 0 ⋅ u [ n ] } = z β ( z β − cos ω 0 ) ( z β ) 2 − 2 z β cos ω 0 + 1 = 1 − β z − 1 cos ω 0 1 − 2 β z − 1 cos ω 0 + β 2 z − 2 Z\left\{ {\beta ^n \cos n\omega _0 \cdot u\left[ n \right]} \right\} = {
{
{z \over \beta }\left( {
{z \over \beta } - \cos \omega _0 } \right)} \over {\left( {
{z \over \beta }} \right)^2 - 2{z \over \beta }\cos \omega _0 + 1}} = {
{1 - \beta z^{ - 1} \cos \omega _0 } \over {1 - 2\beta z^{ - 1} \cos \omega _0 + \beta ^2 z^{ - 2} }} Z{
βncosnω0⋅u[n]}=(βz)2−2βzcosω0+1βz(βz−cosω0)=1−2βz−1cosω0+β2z−21−βz−1cosω0 收敛域为 ∣ z ∣ > ∣ β ∣ \left| z \right| > \left| \beta \right| ∣z∣>∣β∣ 。
第二个例题则是求解指数震荡信号的z变换。 已知cos序列的z变换的表达式， 以及对应的收敛域。 对它进行指数加权， 形成指数震荡序列。 利用z变换的指数加权性质， 将cos序列的z变换表达式中的所有的z， 更换成beta分之z。 最后经过化简， 形成最后的答案。
大家可以对比一下常见序列z变换表格， 可以看到这个答案与通过欧拉公式 所求到的结果是相同的。
§03 知识关联
3.1 FT，LT中的线性加权与指数加权
下面给出了 FT、LT 中的线性加权与指数加权性质。 大家对比一下，可以看到它们与 z 变换对应的形式异曲同工之妙。
FT、LT中的线性加权形式都体现在变换域内进行微分， FT，LT在变换域内的微分结果之上分别乘以 j 以及 -1。 而 z 变换则是在前面乘以 -z 。
L { t ⋅ f ( t ) } = − d F ( s ) d s L\left\{ {t \cdot f\left( t \right)} \right\} = - { {dF\left( s \right)} \over {ds}} L{ t⋅f(t)}=−dsdF(s) F { t ⋅ f ( t ) } = j ⋅ d F ( ω ) d ω F\left\{ {t \cdot f\left( t \right)} \right\} = j \cdot { {dF\left( \omega \right)} \over {d\omega }} F{ t⋅f(t)}=j⋅dωdF(ω)
在指数加权方面， FT中最常用的是等幅复指数震荡信号与 f(t) 相乘， 俗称时域信号幅度调制过程， 对应调幅信号频谱是原信号频谱进行平移。 LT中，信号 f(t) 与指数信号相乘，结果的 LT 在 s 与进行平移。 ZT中的指数加权， 表现为 z 域内的尺度变换。
F { f ( t ) e j ω t } = F ( ω − a ) F\left\{ {f\left( t \right)e^{j\omega t} } \right\} = F\left( {\omega - a} \right) F{ f(t)ejωt}=F(ω−a) L { f ( t ) e − a t } = F ( s + a ) L\left\{ {f\left( t \right)e^{ - at} } \right\} = F\left( {s + a} \right) L{ f(t)e−at}=F(s+a)
3.2 线性加权与高阶极点
在实际应用中， 对于线性加权性质， 往往是从变换域的微分来讨论。 变换结果进行微分，往往会形成高阶极点， 它们对应时域的波形是进行线性加权。 这样就会带来信号的发散。
比如，下面给出了单位阶跃信号、序列对应的变换。 经过线性加权之后， 所对应信号的变换结果都具有高阶极点。 这一部分将来在进行系统分析的时候， 会影响到系统相应是否发散和收敛。 L { u ( t ) } = 1 s , L { t ⋅ u ( t ) } = 1 s 2 L\left\{ {u\left( t \right)} \right\} = {1 \over s},\,\,\,\,L\left\{ {t \cdot u\left( t \right)} \right\} = {1 \over {s^2 }} L{ u(t)}=s1,L{ t⋅u(t)}=s21 Z { u [ n ] } = z z − 1 , Z { n ⋅ u [ n ] } = z ( z − 1 ) 2 Z\left\{ {u\left[ n \right]} \right\} = {z \over {z - 1}},\,\,Z\left\{ {n \cdot u\left[ n \right]} \right\} = {z \over {\left( {z - 1} \right)^2 }} Z{ u[n]}=z−1z,Z{ n⋅u[n]}=(z−1)2z
§04 思考练习
下面给出了在 z=1 的一阶极点和二阶极点对应的序列的波形。 根据本次介绍的线性加权和指数加权性质， 思考一下对应 z=-1处的一阶与二阶 极点所对应的序列波形是什么。
▲ 图4.1 极点以及高阶极点对应的序列波形
※ 总 结 ※
本文给出了z变换的线性与指数加权特性。
补充性质
在 FT、ZT、LT中还存在与线性加权（变换域微分）性质相反的性质，也就是使用自变量倒数进行加权性质。
5.1 z变换的两个性质
在 郑君里《信号与系统（下册）》73页，z 变换的主要性质（定理）表格中，第 14， 15两个性质：
Z { 1 n + a x [ n ] } = − z a ∫ 0 z X ( v ) v a + 1 d v Z\left\{ {
{1 \over {n + a}}x\left[ n \right]} \right\} = - z^a \int_0^z {
{
{X\left( v \right)} \over {v^{a + 1} }}dv} Z{
n+a1x[n]}=−za∫0zva+1X(v)dv
◎ 证明：
很显然， （F-2）是（F-1）在 a = 0 a = 0 a=0 时对应的特例。下面证明（F-1）公式。
根据 z 变换公式 X ( z ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] z − n = z a + 1 ⋅ ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] z − n ⋅ z − a − 1 X\left( z \right) = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right]z^{ - n} } = z^{a + 1} \cdot \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right]z^{ - n} \cdot z^{ - a - 1} } X(z)=n=−∞∑+∞x[n]z−n=za+1⋅n=−∞∑+∞x[n]z−n⋅z−a−1 那么将 z a + 1 z^{a + 1} za+1 移到公式左边 X ( z ) z a + 1 = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] z − ( n + a ) − 1 { {X\left( z \right)} \over {z^{a + 1} }} = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right]z^{ - \left( {n + a} \right) - 1} } za+1X(z)=n=−∞∑+∞x[n]z−(n+a)−1 两边同时对 z 进行积分 ∫ 0 z X ( v ) v a + 1 d v = ∫ 0 z ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] v − ( n + a ) − 1 d v \int_0^z { { {X\left( v \right)} \over {v^{a + 1} }}dv} = \int_0^z {\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right]v^{ - \left( {n + a} \right) - 1} dv} } ∫0zva+1X(v)dv=∫0zn=−∞∑+∞x[n]v−(n+a)−1dv 对于方程的右边，交互积分和累加 ∫ 0 z ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] v − ( n + a ) − 1 d v = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] ∫ 0 z v − ( n + a ) − 1 d v = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] ⋅ ∫ 0 z − 1 n + a d v − ( n + a ) \int_0^z {\sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right]v^{ - \left( {n + a} \right) - 1} dv} } = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right]\int_0^z {v^{ - \left( {n + a} \right) - 1} dv} } = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right] \cdot \int_0^z { { { - 1} \over {n + a}}dv^{ - \left( {n + a} \right)} } } ∫0zn=−∞∑+∞x[n]v−(n+a)−1dv=n=−∞∑+∞x[n]∫0zv−(n+a)−1dv=n=−∞∑+∞x[n]⋅∫0zn+a−1dv−(n+a) = ∑ n = − ∞ + ∞ x [ n ] ⋅ − 1 n + a ⋅ v − ( n + a ) ∣ 0 z = − z − a ∑ n = − ∞ + ∞ 1 n + a x [ n ] z − n = − z − a ⋅ Z { 1 n + a x [ n ] } = \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } {x\left[ n \right] \cdot { { - 1} \over {n + a}} \cdot \left. {v^{ - \left( {n + a} \right)} } \right|_0^z } = - z^{ - a} \sum\limits_{n = - \infty }^{ + \infty } { {1 \over {n + a}}x\left[ n \right]z^{ - n} } = - z^{ - a} \cdot Z\left\{ { {1 \over {n + a}}x\left[ n \right]} \right\} =n=−∞∑+∞x[n]⋅n+a−1⋅v−(n+a)∣∣∣0z=−z−an=−∞∑+∞n+a1x[n]z−n=−z−a⋅Z{ n+a1x[n]}所以 Z { 1 n + a x [ n ] } = − z a ∫ 0 z X ( v ) v a + 1 d v Z\left\{ { {1 \over {n + a}}x\left[ n \right]} \right\} = - z^a \int_0^z { { {X\left( v \right)} \over {v^{a + 1} }}dv} Z{ n+a1x[n]}=−za∫0zva+1X(v)dv
5.2 LT中的s域积分
在 郑君里《信号与系统》（上册）190页，拉普拉斯变换性质表格最后一栏中，s 域积分性质： L { f ( t ) t } = ∫ s ∞ F ( s ) d s L\left\{ { { {f\left( t \right)} \over t}} \right\} = \int_s^{ \infty } {F\left( s \right)ds} L{ tf(t)}=∫s∞F(s)ds
◎ 证明： 直接根据拉普拉斯变换公式 F ( s ) = ∫ 0 − + ∞ f ( t ) e − s t d t F\left( s \right) = \int_{0_ - }^{ + \infty } {f\left( t \right)e^{ - st} dt} F(s)=∫0−+∞f(t)e−stdt 两边同时对 s s s 进行积分
∫ s ∞ F ( s ) d s = ∫ s ∞ ∫ 0 − + ∞ f ( t ) e − s t d t d s = ∫ 0 − + ∞ f ( t ) [ ∫ s ∞ e − s t d s ] d t \int_s^\infty {F\left( s \right)ds} = \int_s^\infty {\int_{0_ - }^{ + \infty } {f\left( t \right)e^{ - st} dt} } ds = \int_{0_ - }^{ + \infty } {f\left( t \right)\left[ {\int_s^\infty {e^{ - st} ds} } \right]dt} ∫s∞F(s)ds=∫s∞∫0−+∞f(t)e−stdtds=∫0−+∞f(t)[∫s∞e−stds]dt = ∫ 0 − ∞ f ( t ) ⋅ [ ∫ s ∞ 1 − t d e − s t ] d t = ∫ 0 − ∞ f ( t ) ⋅ [ − 1 t e − s t ∣ s ∞ ] d t = \int_{0_ - }^\infty {f\left( t \right) \cdot \left[ {\int_s^\infty {
{1 \over { - t}}de^{ - st} } } \right]dt} = \int_{0_ - }^\infty {f\left( t \right) \cdot \left[ {\left. {
{
{ - 1} \over t}e^{ - st} } \right|_s^\infty } \right]dt} =∫0−∞f(t)⋅[∫s∞−t1de−st]dt=∫0−∞f(t)⋅[t−1e−st∣∣∣∣s∞]dt = ∫ 0 − ∞ 1 t f ( t ) e − s t d t = L { 1 t f ( t ) } = \int_{0_ - }^\infty {
{1 \over t}f\left( t \right)e^{ - st} dt} = L\left\{ {
{1 \over t}f\left( t \right)} \right\} =∫0−∞t1f(t)e−stdt=L{
t1f(t)} 其中对于 − 1 t e − s t ∣ s ∞ \left. {
{
{ - 1} \over t}e^{ - st} } \right|_s^\infty t−1e−st∣∣s∞ 取值时，应用到 lim s → ∞ e − s t = lim ω → ∞ e − ( σ + j ω ) t = e − σ t lim ω → ∞ e − j ω t = 0 \mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } e^{ - st} = \mathop {\lim }\limits_{\omega \to \infty } e^{ - \left( {\sigma + j\omega } \right)t} = e^{ - \sigma t} \mathop {\lim }\limits_{\omega \to \infty } e^{ - j\omega t} = 0 s→∞lime−st=ω→∞lime−(σ+jω)t=e−σtω→∞lime−jωt=0
5.3 FT中的频域积分定理
如果 F { f ( t ) } = F ( ω ) F\left\{ {f\left( t \right)} \right\} = F\left( \omega \right) F{ f(t)}=F(ω) 那么 F − 1 { ∫ − ∞ ω F ( Ω ) d Ω } = − f ( t ) j t + π f ( 0 ) δ ( t ) F^{ - 1} \left\{ {\int_{ - \infty }^\omega {F\left( \Omega \right)d\Omega } } \right\} = - { {f\left( t \right)} \over {jt}} + \pi f\left( 0 \right)\delta \left( t \right) F−1{ ∫−∞ωF(Ω)dΩ}=−jtf(t)+πf(0)δ(t)
◎ 证明：（略）
● 相关图表链接: