SS2022-Z变换-性质-什么是ZT初值和终值定理？

简 介： 本文讨论了 z 变换的初值定理和终值定理。

关键词： ZT，初值定理，终值定理

§01 数学原理

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z 变换中的初值定理和终值定理， 可以让我们直接根据序列的 z 变换， 不直接经过反变换的情况下， 确定序列在n=0， 以及趋向于∞的时候的取值。

1.1 初值与终值定理

  如果 $x\left[n\right]$ 为因果序列， 且 X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = 0 + ∞ x [ n ] z − n X\left( z \right) = Z\left\{ {x\left[ n \right]} \right\} = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {x\left[ n \right]z^{ - n} } X(z)=Z{ x[n]}=n=0∑+∞​x[n]z−n 那么 $$x\left[0\right]=\underset{z\to \infty }{\lim }X\left(z\right)$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }x\left[n\right]=\underset{z\to 1}{\lim }\left(z-1\right)X\left(z\right)$$

对于因果序列x[n], 如果知道它存在z变换X(z)， 那么初值定理告诉我们， x[0]等于X(z)在z趋向于无穷大时的极限。 终值定理告诉我们， 如果x[n]在n趋向于无穷大时， 极限存在，即序列的终值存在的话， 那么改终值等于函数(z-1)X(z)， z趋向于1的极限。

1.2 定理证明

1.2.1 初值定理证明

$$\underset{z\to \infty }{\lim }X\left(z\right)=\underset{z\to \infty }{\lim }\sum _{n=0}^{\infty }x\left[n\right]z^{-n}$$$$=x\left[0\right]+\underset{z\to \infty }{\lim }\sum _{n=1}^{\infty }x\left[n\right]z^{-n}=x\left[0\right]$$

初值定理的证明比较简单， 直接根据z变换公示，  可以看到当z 趋向于无穷大的时候，  累加和中的所有项， 除了x[0]之外都等于0， 所以最终该极限都与x[0]。


这个证明中要求x[n]是因果序列，  因此z变换中不包含有z的正幂次项， 所以z趋向于无穷大时， 表达式会收敛到0。  当X(z)是有理分式的时， 等于分子多项式除以分母多项式。 要求分子的阶次小于等于分母的阶次。

1.2.2 终值定理证明

（1）数学证明

  根据 z 变换的时移特性：
Z { x [ n + 1 ] − x [ n ] } = z X ( z ) − z x [ 0 ] − X [ z ] Z\left\{ {x\left[ {n + 1} \right] - x\left[ n \right]} \right\} = zX\left( z \right) - zx\left[ 0 \right] - X\left[ z \right] Z{ x[n+1]−x[n]}=zX(z)−zx[0]−X[z]$$=\left(z-1\right)X\left(z\right)-zx\left[0\right]$$

  取 $z\to 1$ 极限之后：
lim ⁡ z → 1 ( z − 1 ) X ( z ) = lim ⁡ z → 1 z x [ 0 ] + lim ⁡ z → 1 ∑ n = 0 ∞ { x [ n + 1 ] − x [ n ] } z − n \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \left( {z - 1} \right)X\left( z \right) = \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} zx\left[ 0 \right] + \mathop {\lim }\limits_{z \to 1} \sum\limits_{n = 0}^\infty {\left\{ {x\left[ {n + 1} \right] - x\left[ n \right]} \right\}z^{ - n} } z→1lim​(z−1)X(z)=z→1lim​zx[0]+z→1lim​n=0∑∞​{ x[n+1]−x[n]}z−n = x [ 0 ] + { x [ 1 ] − x [ 0 ] } + { x [ 2 ] − x [ 1 ] } +   { x [ 3 ] − x [ 2 ] } + ⋯ = x\left[ 0 \right] + \left\{ {x\left[ 1 \right] - x\left[ 0 \right]} \right\} + \left\{ {x\left[ 2 \right] - x\left[ 1 \right]} \right\} + \,\left\{ {x\left[ 3 \right] - x\left[ 2 \right]} \right\} + \cdots =x[0]+{ x[1]−x[0]}+{ x[2]−x[1]}+{ x[3]−x[2]}+⋯$$=x\left[0\right]-x\left[0\right]+x\left[\infty \right]=x\left[\infty \right]$$

下面给出一个终值定理的简明证明。【ZIP1652803841.ZIP-终值定理证明】

• 对于z变换的终值定理， 这里 给出一个简明的是数学证明。 首先，利用z变换的位移特性， 对于序列的前向差分进行z变换， 便可以得到变换域中的前向差分表达式。 然后对z取极限1， 此时对应的z变换表达式就变成了关于差分序列的累加和。 通过合并其中相同的项， 最终剩下x，无穷大。 这是一个简明的证明过程。
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（2）利用留数进行证明

  根据终值定理可以看出 $x\left[\infty \right]$ 被定义为 $X\left(z\right)$ 在 $z=1$ 处的留数。 如果 $X\left(z\right)$ 存在 $z=1$ 处的一阶极点， 那么对 $X\left(z\right)$ 进行因式分解时，就会包含有 $z/\left(z-1\right)$ 对应的多项式。 $$X\left(z\right)=\frac{k_{0}z}{z-1}+\sum _{r=1}^m\frac{k_{r}z}{z-p_r}$$ 如果 $X\left(z\right)$ 的所有极点，处理 $z=1$ 之外都位于单位圆内，因此上述表达式对应的 $x\left[n\right]$ $$x\left[n\right]=k_{0}u\left[n\right]+\sum _{r=1}^m{p}_r^{n}u\left[n\right]$$ 中，除了第一项之外，其它各项都是指数衰减序列。对于第一项的系数 $k_0$ $$k_0=\mathrm{Re}s{\left[\frac{X\left(z\right)}{z}\right]}_{z=1}=\underset{z\to 1}{\lim }\left(z-1\right)\cdot \frac{X\left(z\right)}{z}=\underset{z\to 1}{\lim }\left(z-1\right)X\left(z\right)$$ 所以 $$x\left[\infty \right]=k_0=\underset{z\to 1}{\lim }\left(z-1\right)X\left(z\right)$$

对于终值定理的另外一个解释， 可以从对X(z)因式分解谈起。 对于因果序列x[n]的z变换X(z)进行因式分解， 假设它具有一个z=1处的极点， 以及其他单位圆内的极点， 可以分解成如下的因式。 这些因式对应的因果序在这里给出。  可以看出，当n趋向于无穷打的时候， 最终只剩下k0。 根据z反变换因式分解方法中各项系数计算公式， 可以知道k0就是这个极限。 由此可以得到终值定理的一个比较直观的证明。

通过这个证明，我们也知道， 在应用终值定理的时候， 需要保证X(z)所有的极点都位于单位圆内。  否则x[n]在n趋向于无穷打的时候会发散。

1.3 应用条件

1.3.1 初值定理应用条件

  初值定理是针对因果序列 $x\left[n\right]$ ，即当 $n<0$ 时， $x\left[n\right]=0$ 。它的 z 变换中不包含有 z 的正幂次项。如果 $X\left(z\right)$ 是有理分式， 则要求它的分子多项式阶次小于等于分母多项式的阶次。

1.3.2 终值定理应用条件

  在应用终值定理之前，需要判断 $X\left(z\right)$ 对应的序列 $x\left[n\right]$ 在 n 趋向于无穷远时， 存在极限。 这要求 $X\left(z\right)$ 所有的极点都位于单位圆内， 如果在单位圆上存在极点， 也只能再 $z=1$ 处存在一个一阶极点。

初值定理要求X(z)的分子多项式阶次 小于等于分母多项式的阶次。 终值定理要求X(z)的极点 都位于单位圆内， 如果单位圆上存在极点， 也只在z=1处存在一个极点。

§02 应用举例

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这里给出两个例题， 分别求取序列的初值和终值。

2.1 求序列的初值

  已知序列 $x\left[n\right]$ 的 z 变换为 $$X\left(z\right)=\frac{3z^2+4z+5}{6z^2+1}$$ 求它的初值 $x\left[0\right]$ 。

  ◎ 求解： 根据 z 变换的初值定理，可知 $$x\left[0\right]=\underset{z\to \infty }{\lim }X\left(z\right)=\underset{z\to \infty }{\lim }\frac{3z^2+4z+5}{6z^2+1}=\frac{1}{2}$$

第一个题是根据x[n]的z变换， 求序列的初值x[0]。 根据z变换初值定理， 令X(z)中z趋向于无穷大， 可以求得极限等于二分之一。 所以x[0]=0.5。

2.2 求序列的终值

  已知序列 $x\left[n\right]$ 的 z 变换为 $$X\left(z\right)=\frac{z^2+2z+6}{\left(z-1\right)\left(z^2+z+1\right)}$$ 求 $x\left[\infty \right]$ 。

  ◎ 求解： 首先， $X\left(z\right)$ 的极点包括 $$p_1=1,p_{2,3}=\frac{-1\pm j\sqrt{3}}{2}$$
  由于 $p_{1,2,3}$ 三个极点都在单位圆上， 所以序列 $x\left[n\right]$ 在 $n\to \infty$ 时不收敛。 实际上这个序列是一个等复震荡序列。

▲ 图2.2.1 序列x[n]的波形

在应用终值定理之前， 需要判断改序列是否存在终值。 这里给出了X(z)的三个极点数值， 可以验证这三个极点都位于单位圆上， 因此x[n]不存在终值。 它实际上是一个等幅震荡信号。  这里给出了x[n]的波形。

§03 知识关联

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  在傅里叶变换中， 是否有初始定理和终值定理呢？

已知连续时间信号 $f\left(t\right)$ 的傅里叶变换 $$F\left(\omega \right)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(t\right)e^{-j\omega t}dt$$ $$f\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F\left(\omega \right)e^{j\omega t}d\omega$$ 那么， $$f\left(0\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }F\left(\omega \right)d\omega$$ $$f\left(+\infty \right)=f\left(-\infty \right)=0$$ 如果信号 $f\left(t\right)$ 的终值不等于 0 ，可以知道 ${\int }_{-\infty }^{+\infty }\left|f\left(t\right)\right|dt=\infty$ ， 信号不满足 狄利克雷条件 ，因此信号的终值 应该是 0。

在拉普拉斯变换，z 变换中存在初值定理，终值定理。】】 为什么在傅里叶变换中没有相应的初值定理和终值定理呢？

根据傅里叶反变换公式， 可以知道f(0)等于它的傅里叶变换的积分， 除以2,pi。 计算该值与进行反变换的积分复杂度相同， 比起拉普拉斯变换， z 变换的初始值定理中， 只需要计算极限相比复杂的多， 所以也就不再单独设置初值定理。

如果信号存在傅里叶变换， 根据狄利克雷条件， 它应该满足绝对可积， 所以要求信号在 t 趋向于无穷的时候等于0， 所以也就无需设置对应的终值定理了。

§04 思考练习

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  对于前面应用举例中的序列终值问题， 虽然判断它不存在终值， 那么请思考一下， 根据终值定理计算出的数值是多少？ 它代表着什么呢？

※ 总 结 ※

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  本文讨论了 z 变换的初值定理和终值定理。

【sss_1040_617.MPG】这里介绍的z变换初值与终值定理， 在系统特性分析中具有很重要的应用。

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■ 相关文献链接:

• 狄利克雷条件

● 相关图表链接:

• [图2.2.1 序列xn