线性性质
y[n]=ax[n]+bw[n]DFT
Y[k]=n=0∑N−1(ax[n]+bw[n])WNkn=an=0∑N−1x[n]WNkn+bn=0∑N−1w[n]WNkn=aX[k]+bW[k]
时移性质
x[n−n0]DFT
n=0∑N−1x[<n−n0>N]e−jN2πknm=n−n0
m=−n0∑N−n0−1x[<m>N]e−jN2πk(m+n0)=WNkn0m=0∑N−1x[m]WNkm=WNkn0X[k]
频移性质
WN−k0nx[n]DFT
n=0∑N−1x[n]WN(k−k0)n=X[<k−k0>N]
时域反转
x[<−n>N]DFT
n=0∑N−1x[<−n>N]WNknm=−n
m=−(N−1)∑0x[<m>N]WN−km=m=0∑N−1x[m]WN−km=X[<−k>N]
时域共轭
x∗[n]DFT
n=0∑N−1x∗[n]WNkn=(n=0∑N−1x[n]WN−kn)∗=X∗[<−k>N]
由上面两个可以推得
x∗[<−n>N]DFT
X∗[k]
对称性质
xcs[n]=21(x[n]+x∗[<−n>N])DFT
21(X[k]+X∗[k])=Xre[k]
xca[n]=21(x[n]−x∗[<−n>N])DFT
21(X[k]−X∗[k])=jXim[k]
xre[n]=21(x[n]+x∗[n])DFT
21(X[k]+X∗[<−k>N])=Xcs[k]
jxim[n]=21(x[n]−x∗[n])DFT
21(X[k]−X∗[<−k>N])=Xca[k]
卷积性质
假设
x[n],w[n]都是长度为
N的有限长序列,它们的DFT
分别为
X[k],W[k],假设它们的有值区间为
0≤n≤N−1,那么它们进行圆周卷积的DFT
为:
x[n]N◯w[n]=m=0∑N−1x[m]w[<n−m>N]DFT
n=0∑N−1m=0∑N−1x[m]w[<n−m>N]WNkn=m=0∑N−1x[m]n=0∑N−1N1r=0∑N−1W[r]WNr(n−m)WNkn=m=0∑N−1x[m]r=0∑N−1W[r]WNkm(N1n=0∑N−1WNk−r)=m=0∑N−1x[m]WNkmW[k]=X[k]W[k]
上式中用到了
N1n=0∑N−1WNk−r={1,k−r=lN,l=0,1,...0,其它
Parseval定理
n=0∑N−1x[n]y∗[n]=n=0∑N−1x[n](N1k=0∑N−1Y[k]WN−kn)∗=N1k=0∑N−1Y∗[k]n=0∑N−1x[n]WNkn=N1k=0∑N−1X[k]Y∗[k]
特别的,当
x[n]=y[n]时
n=0∑N−1∣x[n]∣2=N1k=0∑N−1∣X[k]∣2