线代复习——第四章向量组的线性相关

三四章之间的联系紧密,多看多做题,才能融会贯通

&1向量组及其线性组合

n维向量——n个有次序的苏a₁，a₂，a₃，a_m所组成的数组成为n维向量，
n维向量写出一行成为行向量，组成一列成为列向量
$a= \left( \begin{matrix} a1\\ a2\\ \vdots\\ a_n \end{matrix} \right)$
向量组：诺干个同维数的列向量（行向量）做组成的集合
定理1：向量b能有向量组A:a₁,a₂,a_m线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a₁,a₂,$ $\cdots$ a_n)的秩等于矩阵B=(A:a₁,a₂,a_m,b)的秩
定理2:向量组B:b₁,b₂,b_j能有向量组A:a₁,a₂,a_m线性表示的充分必要条件是R(A)=R(A,B)即A=(a₁,a₂,a_m)的秩等于(A,B)=(a₁,a₂,a_m,b₁,b₂,b_j)的秩
推论向量组A,B等价的充分必要条件是R(A)=R(B)=R(A,B)
定理3:向量组B能有A线性表示的充分必要条件是R(B) $\leqslant$ R(A)

&2向量组的线性代数

给定向量组A:a1,a2, $\cdots$ an,如果存在不为零的数,k1,k2, $\cdots$ ,km,使:
称向量组A是线性相关的,否则就是线性无关
定理4:向量组 $A:a_1 a_2 \vdots a_m$ 线性相关的充分必要条件是R(A)<m,线性无关 $R(A)=m$
定理5: (1)诺向量 $A:a_1,\cdots .a_m$ 线性有关,则向量组 $B: a_1, \cdots ,a_m,a_m+1$ 也线性相关,反之亦然
(2)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于等于向量的个数m是,一定线性相关,特别的n+1个线性n维向量一定线性相关.
(3)设向量组 $A:a_1,\cdots a_m$ 线性无关,向量组 $B: a_1,\cdots a_m,b$ 线性相关,则向量b必能有向量组A线性表示,且表达式是唯一的

&向量组的秩

定义5: 在向量组A中,如果在A中能选出r个向量的话 $a_1,a_2,\cdots a_r$ 满足

向量组== $A_0:a_1,a_2,\cdots ,a_r$ 线性无关
向量组A中任意r+1个向量(如果存在r+1个向量)都线性相关那么成向量组==A₀==是一个最大线性无关向量组(简称最大无关组),最大无关组所关于所含向量个数r称之为向量组A的秩,记作R_A
只含零向量的向量组没有最大无关组,规定他的秩为0
定理6: 矩阵的秩等与他的列向量组的秩,也等于他的行向量组的秩

&4线性方程组解的结构

线性方程组Ax=0
性质1：诺x=ζ₁，x=ζ₂为向量方程组的解，则x=ζ₁+ζ₂也是向量方程组的解（Aζ₁=0，Aζ₂=0，A（ζ₁₊ζ₂）=Aζ₁+Aζ₂=0+0=0）
性质2，诺x=ζ1为线性方程组的解则kζ₁也是向量方程组的解（同理：k0=0）
基础解系：齐次线性方程组的解集的最大无关组
定理7：m×n的矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩R(S)=n-r
性质3:
诺x=ζ₁以及ζ₂是向量方程组Ax=b的解则x=ζ₁-ζ₂对应的齐次的线性方程组Ax=0(b-b=0)
性质4:设x=n是Ax=b的解,x=m是Ax=0的解,则x=m+n是Ax=b的解
得到非齐次线组的通解等于对应的齐次方程组的通解+非齐次方程的特解

&5向量空间

掌握例题24与例题26即可