【数学】通俗解释布丰投针实验过程、蒙特卡洛方法及python仿真代码

很郁闷为什么网上的布丰投针都写的这么复杂，而且很多都是复读机直接copy别人，其实这是个很精巧、有趣的实验，所以打算自己写一个布丰投针的介绍

故事背景

你在教室里写数学题，突然有个人，抱着一大盒针走过来，然后把针撒到地上，然后很淡定地点点头说，“嗯，我知道π等于多少了”。

是不是觉得很神奇？！这跟π什么关系？！！！

没错，这个人就是布丰。

实验过程

这个实验也很简单，两段距离为D的平行线、一根长为L的针（L≤D）

投针实验就是把这根针扔到两段平行线之间，然后统计针碰到平行线的次数，例如图中的两根针，红色针就是碰到，黑色针就是没碰到

哪这和π是怎么扯上关系的呢？是从”针碰到平行线“的数学定义中推导得到的。我们先想办法定义针的位置，取针的中点向最近的平行线做垂线，定义该垂线为$X$，该垂线与针的夹角为$\theta$
因为针是在两段平行线之间，故
$$X\in [0,D/2]$$
同时因为总能找到一个小于90°的角，故
$$\theta \in [0,\pi /2]$$

$X$与$\theta$与平行线可以组成一个直角三角形，所以斜边的长度是$X/cos\theta$

因此，只要
$$X/cos\theta <L/2$$
$$即X<(L/2)\ast cos\theta$$
的话（其实取≤也可以，影响不大），就说明针碰到了平行线，否则就说明没碰到，下图分别为”没碰到和“碰到”的情况

下面我们来表示出“针碰到平行线的概率”，即
P { X < L 2 c o s θ } P\{X<\frac{L}{2}cosθ\} P{ X<2L​cosθ}

求概率，本质就是比值，而因为$X$与$\theta$是连续的，所以上面的比值可以等价于面积的比值

即，当$X$与$\theta$在其取值范围内变化时，会生成无数个点，这些点的总面积为$S=\frac{D}{2}\ast \frac{\pi }{2}=\frac{D\ast \pi }{4}$ （由$X$与$\theta$的取值范围决定）

在这无数个点中，有一些点满足$X<\frac{L}{2}cos\theta$这一条件，这些点的面积记作$S_1$，所以

P { X < L 2 c o s θ } = S 1 S P\{X<\frac{L}{2}cosθ\} = \frac{S1}{S} P{ X<2L​cosθ}=SS1​

那怎么把$S_1$表示出来呢？因为针的中心点和角度是没关系的，所以我们可以假设中$X$与$\theta$是相互独立的，且他们在各自的取值范围内服从均匀分布，所以可以写成

剩下的就算微积分的事情了

所以可得
P { X < L 2 c o s θ } = 2 ∗ L π ∗ D P\{X<\frac{L}{2}cosθ\} = \frac{2*L}{π*D} P{ X<2L​cosθ}=π∗D2∗L​

接下来，我们就可以反向思维，把$\pi$表示出来
π = 2 ∗ L P { X < L 2 c o s θ } ∗ D π = \frac{2*L}{P\{X<\frac{L}{2}cosθ\}*D} π=P{ X<2L​cosθ}∗D2∗L​

所以，只要知道了$L$、$D$、 P { X < L 2 c o s θ } P\{X<\frac{L}{2}cosθ\} P{ X<2L​cosθ}就可以算出$\pi$

那问题来了， P { X < L 2 c o s θ } P\{X<\frac{L}{2}cosθ\} P{ X<2L​cosθ}不是根据上面积分算出来的吗？你这样不就鸡生蛋蛋生鸡了？

其实 P { X < L 2 c o s θ } P\{X<\frac{L}{2}cosθ\} P{ X<2L​cosθ}还可以通过做实验的途径得到，例如我投100次针，其中有50次针碰到了平行线，那么 P { X < L 2 c o s θ } = 50 100 = 0.5 P\{X<\frac{L}{2}cosθ\}=\frac{50}{100}=0.5 P{ X<2L​cosθ}=10050​=0.5

这样一来，$\pi$也就能求出来了

这种通过做实验来求积分的方法，就是大名鼎鼎的蒙特卡洛方法
（你也可以认为是暴力求解积分哈哈哈）

以上，就是布丰投针实验求$\pi$的过程

代码实验

import random
import numpy as np
from tqdm import tqdm

# 平行线距离
D = 2
# 针的长度
L = 1
# 实验次数
exp_num = 100000000
# 触碰次数
touch_num = 0
for i in tqdm(range(1, exp_num+1)):
    X = random.uniform(0, D / 2)
    theta = random.uniform(0, np.pi / 2)
    if X < (L/2)*np.cos(theta):
        touch_num += 1
# 计算π
P = touch_num/exp_num
print('π = {}'.format((2*L)/(P*D)))

结果为：

π = 3.1412599467996216

大家可能会对theta = random.uniform(0, np.pi / 2)很疑问，我想求得是$\pi$，但是代码中就已经给定$\pi$（即np.pi），这不就犯规了吗？

其实不是，因为代码中我们要模拟现实的投针场景，所以theta = random.uniform(0, np.pi / 2)就是我们的现实，相当于是上帝提前设定好的，我们不知道的
我们的结果、我们想求的东西，就是希望去找到theta = random.uniform(0, np.pi / 2)中的$\pi$（即np.pi）是多少，它是我们的目标，我们希望结果尽可能的接近他

换句话说，如果我把theta = random.uniform(0, np.pi / 2)中的$\pi$（即np.pi）换成数字5的话（即改为theta = random.uniform(0, 5 / 2)）

我们输出的结果就会非常接近5，因为我们此时想要拟合的目标是5

运行下面的代码（只改了theta那一行），输出结果为：π = 5.00038202918703

import random
import numpy as np
from tqdm import tqdm

# 平行线距离
D = 2
# 针的长度
L = 1
# 实验次数
exp_num = 100000000
# 触碰次数
touch_num = 0
for i in tqdm(range(1, exp_num+1)):
    X = random.uniform(0, D / 2)
    theta = random.uniform(0, 5 / 2)
    if X < (L/2)*np.cos(theta):
        touch_num += 1
# 计算π
P = touch_num/exp_num
print('π = {}'.format((2*L)/(P*D)))

$\pi$只是个外衣，不要被骗了哈哈哈

布丰投针给我们提供的是一种解决问题的思路，”通过数学推导与实验（蒙特卡洛方法）的配合，求出难以直接计算得到的值“，我认为这才是这个实验的巧妙之处~