import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.patches as mpatches
import scipy.integrate as integrate
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Monte Carlo method (蒙特卡洛方法，也有翻译成“蒙特卡罗方法”）是以概率和统计的理论、方法为基础的一种数值计算方法，
将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解，故又称随机抽样法或统计试验法。
上述就是蒙特卡洛方法的基本概念，比较抽象，下面结合实际工作中的理解，谈一谈对蒙特卡洛方法的一些认识。
（1）数学家冯·诺伊曼（计算机之父）在20世纪40年代中期用驰名世界的赌城摩纳哥的蒙特卡洛来命名这种方法，
说明该方法与赌博中的随机性、概率性有着天然而密切的联系。几乎涉及到概率相关的复杂数值计算的领域（计算物理、经济金融、统计学、机器学习等）。
（2）蒙特卡洛是一种方法或者说策略，没有什么高深的理论支撑（如果有理论也就只有概率论或统计学中的大数定律了）。
蒙特卡洛的基本原理简单描述是先大量模拟，然后计算一个事件发生的次数，再通过这个发生次数除以总模拟次数，得到想要的结果。
例如模拟投N次（随机样本数），统计同时出现6的次数C(C/N即是计算结果)。
（3）蒙特卡洛方法可应用在很多场合（求的是近似解）。模拟样本数越大，越接近与真实值，同时样本数增加会带来计算量的大幅上升。
实例：蒙特卡洛方法求函数y=x^2在[0,2]区间的积分（即求面积）。
备注：直接用数学中的定积分公式算更简单精确。
该红色区域在一个2×4的正方形里面。使用蒙特卡洛方法，随机在这个正方形里面产生大量随机点（数量为N），
计算有多少点（数量为count）落在红色区域内（判断条件为y<x2），count/N就是所要求的积分值，也即红色区域的面积。
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np.random.seed(12345)
x = np.linspace(0, 2, 1000) # 绘制曲线
y = x ** 2
plt.plot(x, y)
plt.fill_between(x, y, where=(y > 0), color='red', alpha=0.5) # 填充颜色
# plt.show()
#模拟1000个随机点
N = 1000
points = [[xy[0] * 2, xy[1] * 4] for xy in np.random.rand(N, 2)]
plt.scatter([x[0] for x in points], [x[1] for x in points], s=5, c=np.random.rand(N), alpha=0.5)
plt.show()
#计算落在红色区域的比重
count = 0
for xy in points:
if xy[1] < xy[0] ** 2:
count += 1
print((count / N) * (2 * 4)) # 2.752
print(integrate.quad(lambda x: x ** 2, 0, 2)[0])
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蒙特卡洛方法有一定的误差，误差的大小与模拟的样本大小直接相关，模拟样本越大，误差越小，但计算量也会大幅上升。
对于简单问题来说，蒙特卡洛是个“笨”办法。
但对于涉及复杂、不可解析函数或概率分布的模拟及计算，蒙特卡洛方法是个有效的方法，有时甚至是唯一可行的方法。
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实例2：套圈圈的游戏，想过为什么你总是套不上吗？用蒙特卡洛方法来算一算。
1.设物品中心点坐标为（0,0），物品半径为5cm。
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circle_target = mpatches.Circle([0, 0], radius=5, edgecolor='r', fill=False)
plt.xlim(-80, 80)
plt.ylim(-80, 80)
plt.axes().add_patch(circle_target)
# plt.show()
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2.设投圈半径8cm，投圈中心点围绕物品中心点呈二维正态分布，均值μ=0cm，标准差σ=20cm，模拟1000次投圈过程。
上图中红圈为物品，散点图为模拟1000次投圈过程中，投圈中心点的位置散布。
3.计算1000次投圈过程中，投圈套住物品的占比情况。
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N = 1000
u, sigma = 0, 20
points = sigma * np.random.randn(N, 2) + u
plt.scatter([x[0] for x in points], [x[1] for x in points], c=np.random.rand(N), alpha=0.5)
plt.show()
print(len([xy for xy in points if xy[0] ** 2 + xy[1] ** 2 < (8 - 5) ** 2]) / N)
#输出结果：0.009，即投1000次，有9次能够套住物品，是小概率事件，知道你为什么套不住了吧。
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蒙特卡洛方法本身不是优化方法，
与遗传算法、粒子群算法等智能优化算法有相似之处，比如都属于随机近似方法，都不能保证得到最优解等，
但它们也有着本质的差别。
一是层次不一样，蒙特卡洛只能称之为方法，遗传算法等则属于仿生智能算法，比蒙特卡洛方法要复杂。
二是应用领域不同，蒙特卡洛是一种模拟统计方法，如果问题可描述成某种统计量的形式，就可以用蒙特卡洛方法解决；
遗传算法等适用于大规模的组合优化问题（选址问题、排班问题、管理调度、路线优化）等，及复杂函数求最值、参数优化等。
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内容摘自网络