PAT 乙级 1049 数字片段和(区间和 -> 前缀和变形)

题目

给定一个正数数列，我们可以从中截取任意的连续的几个数，称为片段。例如，给定数列 { 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 }，我们有 (0.1) (0.1, 0.2) (0.1, 0.2, 0.3) (0.1, 0.2, 0.3, 0.4) (0.2) (0.2, 0.3) (0.2, 0.3, 0.4) (0.3) (0.3, 0.4) (0.4) 这 10 个片段。
给定正整数数列，求出全部片段包含的所有的数之和。如本例中 10 个片段总和是 0.1 + 0.3 + 0.6 + 1.0 + 0.2 + 0.5 + 0.9 + 0.3 + 0.7 + 0.4 = 5.0。
输入格式：
输入第一行给出一个不超过 10​5​​ 的正整数 N，表示数列中数的个数，第二行给出 N 个不超过 1.0 的正数，是数列中的数，其间以空格分隔。
输出格式：
在一行中输出该序列所有片段包含的数之和，精确到小数点后 2 位。
输入样例：
4
0.1 0.2 0.3 0.4
输出样例：
5.00

分析

思路：
首先这道题，循环肯定是会超时的(数据规模10^5)，既然它是连续数列，那就数学公式吧，找出其中的规律。
我们计算它们的和就是计算每个数出现的次数，如 1+2 1+2+3 2+3 2+3+4 3+4 1+2+3+4+5 1+2+3+4+5
他们出现的次数有这样的规律：
1：因为是连续所以有1 12 123 1234有四次
2：2 23 234 左边还有个1，还可以在12,123,1234里
3: 3 34 左边还有个2，有23 234，还有个1，有123 1234
4：4 左边有个3，所以有34，还有个2,所以有234，还有个1，所以有1234
看到这里大家明白了吗，1右边有3个加上1本身是一共四个；2右边2个加上本身一共三个但左边有一个，还能组成新三个，所以乘以3 * 2；3右边有1个加上本身一共两个，但左边有两个，每一个都能都能构成新2个，所以2 * 3；4没有加上本身有一个，但左边有三个，每一个都能够成新1个所以4 * 1。
所以最后公式就是：sum+=（左边的个数+1） * （右边的个数+1） * a[ i ];也就是sum+=(i+1) * a[ i ] * (N-i);
注：浮点数相乘的顺序可能会影响精度，你也可以这样写sum+=(double)(N-i)*(double)(i+1)*a[ i ];

AC代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

double a[N];

int main ()
{
    int n;
    cin >> n;

    double res = 0;
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++ )
    {
        cin >> a[i];
        res += (i+1)*a[i]*(n-i);
    }

    printf("%.2lf", res);

    return 0;
}

---

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