20200412——第一千零二十五题 除数博弈

原题

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。 用 N - x 替换黑板上的数字 N 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 True，否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

归纳法
基本思路：

最终结果应该是占到 2 的赢，占到 1 的输；
若当前为奇数，奇数的约数只能是奇数或者 1，因此下一个一定是偶数；
若当前为偶数， 偶数的约数可以是奇数可以是偶数也可以是 1，因此直接减 1，则下一个是奇数；
因此，奇则输，偶则赢。

所以爱丽斯偶数开局，只要一直-1，轮到鲍勃的时候为奇数即可。
答案是拿到2的人，一定会赢。
所以判断给出的N是奇数还是偶数即可。

class Solution {
    public boolean divisorGame(int N) {
       if(N%2 == 1){
           return false;
       }else{
           return true;
       }
    }
}

class Solution {
    public boolean divisorGame(int N) {
        if(N == 1){
            return false;
        }
        if(N == 2){
            return true;
        }
        boolean[] dp = new boolean[N+1];
        dp[1] = false;
        dp[2] = true;
        for(int i = 3;i<=N;++i){
            dp[i] = false;
            for(int j = 1;j<i;++j){
                if(i%j == 0 && !dp[i-j]){
                    dp[i] = true;
                    break;
                }
            }
        }
        return dp[N];
    }
}

算法思想，x是当初的除数，如果N%x == 0,并且dp[N-x]是false，那么他留给鲍勃的一定是false，所以能获得胜利。