【运筹学】什么是基变量？对于线性规划问题中“基”概念的理解（3月3日学习笔记）

在学习《线性规划与目标规划》的过程中，课程的主讲老师郭韧给出了对于基概念的定义如下图

图片来源:运筹学（中国大学mooc网）

由此我产生了几个疑惑:1.如何理解B是线性规划问题的一个基？2.为什么说最多有 $C_n^m$个基呢？
 
 

$1.如何理解B是线性规划问题的一个基？$

在回答第一个问题前，首先需要理解，什么是非奇异子矩阵？为什么B要是非奇异子矩阵？

奇异矩阵与非奇异矩阵
奇异矩阵的判定方法：
行列式|A|是否等于0，若等于0，称矩阵A为奇异矩阵；
非奇异矩阵的判定方法：
一个矩阵非奇异当且仅当它的行列式不为零。
一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。
一个矩阵非奇异当且仅当它的秩为n。 (R(A)<n则行列式为0)
可逆矩阵就是非奇异矩阵，非奇异矩阵也是可逆矩阵。

这篇博文的内容对“什么是非奇异子矩阵”的描述比较易于理解。
也就是说，其实非奇异子矩阵是为了保证|B |不等于0。|B|不等于0才可以让基解可求，因为根据克拉默法则，求基解的公式为 $x_i=|B_i |/|B|$如果|B|等于0，则无解，所以|B|等于0的时候不是基解，为什么B要是非奇异子矩阵的问题也迎刃而解了。

图片来源:https://www.icourse163.org/course/HQU-1205834834?from=study

明确了上述内容后，“B是线性规划问题的一个基”就更好理解了，说白了就是从n列中选m列组合成一个矩阵，满足条件“行列式不等于0”，那这样一个矩阵就是行列式的一个基（也就是说线性规划问题中的基是可以有很多个的）。
在理解了基和基解以后，我们自然而然也可以延伸解决另一个问题可行解和基解有什么区别？
我们知道，所谓基解，就是对应基向量的非基变量为零，基变量不为零；而可行解是满足约束条件的解。所以，基解不一定为可行解，可行解也不一定为基解。既是可行解又是基解的解是基本可行解，最优解是基本可行解中使目标函数达到最优的解。

$2.为什么说最多有C_n^m个基呢？$

明白了第一个问题以后，第二个问题也很好理解了，我们已经知道了，“B是线性规划问题的一个基”说白了就是从n列中选m列组合成一个矩阵，满足条件“行列式不等于0”，那这样一个矩阵就是行列式的一个基。那最多有多少个基其实就是一个简单的组合问题，总共有 $C_n^m$种组合情况，其中可能有几个基是不满足条件的，所以说最多有这么多。
 
 

文末附上郭韧老师关于基变量和非基变量的解读PPT

以上是我在学习线性规划问题中对于“基”概念的理解，如果表述有误，欢迎批评指正。