【运筹学】线性规划 单纯形法 ( 基矩阵 | 基变量 | 非基矩阵 | 非基变量 | 矩阵分块形式 | 逆矩阵 | 基解 | 基可行解 )

I . 基矩阵 B

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线性规划标准形式 , 约束方程的系数矩阵是 $A$ , 如下 :

$A = \begin{bmatrix}\\\\ & a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} &\\\\ & a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} &\\\\ & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\\\ & a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} &\\\\ \end{bmatrix}$

该矩阵 $A$ 是 $m \times n$ 阶矩阵 , 有 $m$ 行 , $n$ 列 , 代表 $m$ 个约束方程 , $n$ 个变量 , 并且 $n > m$ ;

基矩阵 $B$ :

• ① 满秩子矩阵 : 矩阵 $A$ 的 满秩子矩阵 $B$ , 矩阵 $B$ 的秩是 $m$ ;
• ② 列向量线性无关 : 该矩阵中的 列向量 线性无关 , 即 每一列不能通过 乘以系数 加减的方式得到另外一列列向量 ,
• ③ 基矩阵 $B$ : 这样的 系数矩阵 $A$ 的 $m \times m$ 阶满秩矩阵 $B$ 就是基矩阵 ;

$B= \begin{bmatrix}\\\\ & a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} &\\\\ & a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} &\\\\ & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\\\ & a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mm} &\\\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & P_1 & P_2 & \cdots & P_m & \end{bmatrix}$

II . 基向量 $P_j$

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基向量 :

• ① 概念 : 基矩阵 $B$ 中的每个列向量 , 都是一个 基向量 , 记作 $P_j$ , 其中 $j = 1 , 2 , \cdots , m$ ;
• ② 基向量个数 : 每个基矩阵中有 $m$ 个列向量 ;

III . 基变量

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基变量 : 每个基向量都对应一个变量 , 基向量是列向量 , 该列向量是 $x_j$ 变量的系数组成 , 这个对应的 $x_j$ 变量就是基变量 ;

IV . 非基矩阵 $N$

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非基矩阵 $N$ : 确定一个基矩阵 , 剩下的列向量就是 非基向量 , 这些非基向量 组成 非基矩阵 $N$ ;

$N= \begin{bmatrix}\\\\ & a_{1m+1} & a_{1m+2} & \cdots & a_{1n} &\\\\ & a_{2m+1} & a_{2m+2} & \cdots & a_{2n} &\\\\ & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\\\ & a_{mm+1} & a_{mm+2} & \cdots & a_{mn} &\\\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & P_{m+1} & P_{m+2} & \cdots & P_{n} & \end{bmatrix}$

V . 系数矩阵分块形式 $A = ( B N )$

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系数矩阵 $A$ , 可以写成分块形式 :

$A = \begin{bmatrix}\\\\ & a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} &\\\\ & a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} &\\\\ & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots &\\\\ & a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} &\\\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} & B & N & \end{bmatrix}$

VI . 基变量向量 $X_B$ 非基变量向量 $X_N$ 及 分块形式

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基变量向量 $X_B$ :

$X_B = \begin{bmatrix}\\\\ & x_1 &\\\\ &x_2&\\\\ &\vdots& \\\\ &x_m&\\\\ \end{bmatrix}$

非基变量向量 $X_N$ :

$X_B = \begin{bmatrix}\\\\ & x_{m + 1} &\\\\ &x_{m + 2}&\\\\ &\vdots& \\\\ &x_n&\\\\ \end{bmatrix}$

向量 $X$ 可以写成 $X_B$ 和 $X_N$ 分块形式 :

$X = \begin{bmatrix}\\\\ & x_1 &\\\\ &x_2&\\\\ &\vdots& \\\\ &x_n&\\\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}\\\\ & x_B &\\\\ &x_N &\\\\ \end{bmatrix}$

VII . 分块形式的计算公式

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矩阵分块形式方程代入 : 约束方程组 $AX = b$ ;

$b$ 是大于 $0$ 的常数组成的向量 ;

将上述分块形式的 矩阵 $A$ 和 矩阵 $X$ 代入 上述 $AX = b$ 公式 ;

$A = \begin{bmatrix} & B & N & \end{bmatrix}$
$X = \begin{bmatrix}\\\\ & X_B &\\\\ &X_N &\\\\ \end{bmatrix}$

得到

$\begin{bmatrix} & B & N & \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix}\\\\ & X_B &\\\\ & X_N &\\\\ \end{bmatrix} = b$

$BX_B + NX_N = b$

VIII . 逆矩阵

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逆矩阵 : 其中矩阵 $B$ 是满秩的 $m \times m$ 阶矩阵 , 该矩阵是可逆的 ( 非奇异矩阵 ) , 必定存在一个 $B^{-1}$ , 使得
$B \times B^{-1} = E$

单位矩阵 : 这里的 矩阵 $E$ 是单位矩阵 , 即 左上角到右下角 对角线 上 的元素 为 $1$ , 其它元素为 $0$ ;
主对角线 : 左上角 到 右下角 的对角线称为 主对角线 ;
单位矩阵 示例 如下 :
$E=\begin{bmatrix} & 1 & 0 & 0 & \\\\ & 0 & 1 & 0 &\\\\ & 0 & 0 & 1 & \end{bmatrix}$

IX . 解基变量

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解基变量 :

$BX_B + NX_N = b$

将 $NX_N$ 提到公式右边 :

$BX_B = b - NX_N$

公式两边乘以 $B^{-1}$ :

$BX_B \times B^{-1} = ( b - NX_N ) \times B^{-1}$

$X_B = B^{-1}b - B^{-1}NX_N$

X . 基解

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引入基解 : 令非基变量 $X_N$ 中所有变量为 $0$ , 此时上述公式为 :

$X_B = B^{-1}b$
约束方程的解为
$X = \begin{bmatrix} & X_B & \\\\ & 0 & \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} & B^{-1}b & \\\\ & 0 & \end{bmatrix}$
上述解为基解 , 矩阵 $B$ 是满秩的 , 其秩为 $m$ , 将非基变量赋值 $0$ , 剩余的 $m$ 个变量 , $m$ 个等式 , 必能解出一组唯一解 ; 即
$\sum_{j = 1}^{m}p_j x_j = b$
方程组有唯一解

$X_B = \begin{bmatrix} & x_1 & \\\\ & x_2 &\\\\ & \vdots &\\\\ & x_m & \end{bmatrix}$
该解 $X_B$ 是线性规划的一个基解 ;

XI . 基可行解

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基可行解 : 如果上述解出的基解 $X_B$ , 满足线性规划数学模型 标准形式 的变量非负约束 , 即所有的变量都大于等于 $0$ , 该解称为基可行解 ;

并不是所有的基解都是基可行解 , 只有部分基解是基可行解 ;