【运筹学】线性规划数学模型 ( 三要素 | 一般形式 | 向量形式 | 矩阵形式 )

I . 规划问题

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规划问题 概念 : 在 生产 和 经营管理中 , 合理地 安排 人力 , 物力 , 资源 , 使它们能够得到充分利用 , 以达到获得最大的效益 ;

线性规划问题 :

• ① 减小资源消耗 : 任务 和 目标确定 , 统筹兼顾 , 合理安排 , 用最少的资源完成上述任务和目标 ; 资源包括 资金 设备 原料 人力 时间 等 ;
• ② 获得最大效益 : 资源是固定的 , 进行合理安排 , 获得最大的效益 ;

II . 线性规划示例

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某工厂生产 甲 , 乙 两种产品 , 分别要使用 A , B , C , D 四种设备进行加工 , 按照工艺流程规定 , 每种产品 在不同设备上加工所需的时间如下表所示 , 如何安排生产 , 使总利润最大 ;

	设备 A	设备 B	设备 C	设备 D	利润
产品甲	2	1	4	0	2
产品乙	2	2	0	4	3
设备有效台时	12	8	16	12

线性规划分析 :
1. $x_1$ 是产品甲的生产数量 , $x_2$ 是产品乙的生产数量 ;

2. 利润 : 甲乙两种产品的利润之和 , 产品甲 2 元 , 产品乙 3 元 , 利润要达到最大化 ;
$max Z = 2x_1 + 3x_2$

3. 设备 $A$ 的限制 : 设备 $A$ 最多使用 12 小时 , 两种产品的使用时间不能超过 12 小时 ;
$2x_1 + 2x_2 \leq 12$

4. 设备 $B$ 的限制 : 设备 $B$ 最多使用 8 小时 ;
$x_1 + 2x_2 \leq 8$

5. 设备 $C$ 的限制 : 设备 $C$ 最多使用 16 小时 ;
$4x_1 \leq 16$

6. 设备 $D$ 的限制 : 设备 $D$ 最多使用 12 小时 ;
$4x_2 \leq 12$

7. 甲乙两种产品数量的限制 , 两个产品的数量必须大于等于 0 ;
$x_1 \geq 0 , x_2 \geq 0$

按照上述条件 , 计算出 $Z$ 的最大值 , 就是生产甲乙两种产品的最大利润 ;

III . 线性规划数学模型三要素

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线性规划数学模型三要素 :

• ( 1 ) 决策变量 : 上述 产品甲乙 的个数 $x_1 , x_2$ 就是决策变量 , 直接关系到利润的多少 ;
• ( 2 ) 目标条件 : 多个决策变量的线性函数 , 通常是求 最大值 或 最小值 问题 ; 上述示例中的 $max Z = 2x_1 + 3x_2$ 就是目标条件 ;
• ( 3 ) 约束条件 : 一组多个 决策变量 的线性等式 或 不等式 组成 , 如上述 3 ~ 7 的四种设备的使用时间限制 和 决策变量的取值范围 ;

IV . 线性规划数学模型一般形式

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目标函数 :
$max (min) z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n$

约束条件 :

$\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots a_{1n}x_n & \leq ( = \cdot \geq) & b_1\\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots a_{mn}x_n & \leq ( = \cdot \geq) & b_m \\ \\ \\x_1 \geq 0 \cdots x_2 \geq 0 \end{cases}$

上述线性规划中 , 有 $n$ 个决策变量 , $m$ 个约束条件不等式 ;

简写形式 : 有 $n$ 个变量 , $m$ 个约束不等式 ;

$\begin{array}{lcl}max (min) z = \sum_{j=1}^{n}c_j x_j\\ \\ \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j \leq ( = \cdot \geq) b_i & (i = 1 , 2 \cdots m) \\ \\x_j \geq 0 & (i = 1 , 2 \cdots n) \end{array}$

V . 线性规划数学模型向量形式

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向量形式 :

$max ( min ) z = CX$
$\begin{cases} \sum p_j x_j \leq ( = \cdot \geq ) B\\ \\ X \geq 0 \end{cases}$

公式相关说明 :

1. 矩阵 $C$ 是 $1$ 行 $n$ 列矩阵 , 是一个 $1 \times n$ 矩阵 ; 该矩阵的元素是 目标条件中 决策变量的系数 ;
$C = \begin{bmatrix} c_1 , c_2 \cdots c_n\end{bmatrix}$

2. 矩阵 $X$ 是 $n$ 行 $1$ 列 的矩阵 , 是一个 $n \times 1$ 矩阵 ; 该矩阵的元素是决策变量 ;

$X = \begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$

3. 矩阵 $P_j$ 是 $m$ 行 $1$ 列 的矩阵 , 是一个 $m \times 1$ 矩阵 ; 该矩阵的元素是 第 $j$ 个约束条件的 $m$ 个决策变量前的系数 ;

$P_j = \begin{bmatrix}a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{bmatrix}$

4. 矩阵 $B$ 是 $m$ 行 $1$ 列 的矩阵 , 是一个 $m \times 1$ 矩阵 ; 该矩阵的元素是 第 $j$ 个约束条件的 $m$ 个 右侧的不等式约束值 ;

$B = \begin{bmatrix}b_{1} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix}$

VI 线性规划数学模型矩阵形式

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矩阵形式 :

$max ( min ) Z = CX$
$\begin{cases} \sum AX \leq ( = \cdot \geq ) B\\ \\ X \geq 0 \end{cases}$

公式相关说明 :

1. 矩阵 $C$ 是 $1$ 行 $n$ 列矩阵 , 是一个 $1 \times n$ 矩阵 ; 该矩阵的元素是 目标条件中 决策变量的系数 ;
$C = \begin{bmatrix} c_1 , c_2 \cdots c_n\end{bmatrix}$

2. 矩阵 $X$ 是 $n$ 行 $1$ 列 的矩阵 , 是一个 $n \times 1$ 矩阵 ; 该矩阵的元素是决策变量 ;

$X = \begin{bmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}$

3. 矩阵 $A$ 是 $m$ 行 $n$ 列 的矩阵 , 是一个 $m \times n$ 矩阵 ; 该矩阵的 $i$ 行 $j$ 列 元素 代表 第 $i$ 个约束条件的 $j$ 个决策变量前的系数 ;

$A = \begin{bmatrix} &a_{11} & \cdots & a_{1n} & \\ &\vdots & \vdots & \vdots & \\ &a_{mj}& \cdots & a_{mn} \end{bmatrix}$

4. 矩阵 $B$ 是 $m$ 行 $1$ 列 的矩阵 , 是一个 $m \times 1$ 矩阵 ; 该矩阵的元素是 第 $j$ 个约束条件的 $m$ 个 右侧的不等式约束值 ;

$B = \begin{bmatrix}b_{1} \\ \vdots \\ b_{m} \end{bmatrix}$