【运筹学】线性规划数学模型标准形式 ( 标准形式 | 目标函数转化 | 决策变量转化 | 约束方程转化 | 固定转化顺序 | 标准形式转化实例 )

线性规划标准形式

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线性规划标准形式 :

$max Z = \sum_{j = 1}^{n} c_j x_j$
$s.t \begin{cases} \sum_{j = 1}^{n} a_{ij} x_j = b_i & i = 1,2,\cdots,m \\ \\ x_j \geq 0 & j= 1, 2,\cdots,n \end{cases}$

线性规划标准形式特点 :

• 1. 目标函数 : 目标函数都是求最大值 , 如果出现最小值 , 那么将其转为求最大值的形式 ;
• 2. 约束条件 : 约束条件都是等式方程 , 等式右侧的常数项 $b_i$ 大于等于 $0$ ;
• 3. 决策变量 : 决策变量 $x_j$ 大于等于 0 ;

约定 : 决策变量个数为 $n$ 个 , 约束条件不等式个数为 $m$ 个 , 约束条件不等式的系数为一个 $m \times n$ 矩阵 , $m$ 行 $n$ 列的矩阵 ;

线性规划 普通形式 -> 标准形式 目标函数 转化

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目标函数 转换 : 求极小值 转为 求极大值 ;

如果目标函数是
$min Z = \sum c_j x_j$
可以将目标函数乘以 $-1$ ,
$- min Z = -\sum c_j x_j$
$Z$ 是大于 $0$ 的数 , $Z$ 的最小值时 , $-Z$ 是最大值 , $Z$ 是最大值时 , $-Z$ 是最小值 , 这里令 $Z' = -Z$ , 可以得到
$max Z' = -minZ = -\sum c_j x_j$

线性规划 普通形式 -> 标准形式 无约束的决策变量转化

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无约束变量 转换 : 所有的决策变量必须 $\geq 0$

如果某个决策变量 $x_j$ 没有任何约束 , 在标准形式中 , 所有的决策变量必须都大于等于 0 ;

这里令 $x_j = x_j' - x_j''$ , 其中 $x_j' \geq 0$ , $x_j'' \geq 0$

线性规划 普通形式 -> 标准形式 约束方程 转化

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约束方程 转换 : 在线性规划中 , 约束方程都是等式 , 需要将不等式 ( $\leq$ , $\geq$ ) 转为 等式 ( $=$ ) ;

1. 针对小于等于的不等式 :

$\sum a_{ij} x_j \leq b_i$

等式左边比右边小 , 左侧加上一个 变量 $x_{n+i}$ 与右侧相等 ;

$\sum a_{ij} x_j + x_{ni} = b_i$

这个 $x_{n+i}$ 称为松弛变量 ;

2. 针对大于等于的不等式 :

$\sum a_{ij} x_j \geq b_i$

等式左边比右边小 , 左侧加上一个 变量 $x_{n+i}$ 与右侧相等 ;

$\sum a_{ij} x_j - x_{ni} = b_i$

这个 $x_{n+i}$ 称为剩余变量 ;

线性规划 普通形式 -> 标准形式 小于等于 0 的变量转化

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如果出现 变量约束 $x_j \leq 0$ , 需要将该变量约束转为大于等于 0 ( $\geq 0$ ) 的情况 ;

当前 $x_j \leq 0$ , 令 $x_j' = -x_j$ , 此时 $x_j' \geq 0$ ;

线性规划 普通形式 -> 标准形式 转化顺序说明

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① 先处理变量没有约束的问题 , 需要用两个 $\geq 0$ 的变量替换原来的变量 ;

这里特别注意 , 之后处理 约束方程 , 每个步骤都要讲该变量替换掉 ;
该步骤优先级最高 ;

② 在处理约束方程 , 如果是 $\leq$ 不等式 , 需要在不等式左侧加入松弛变量 , 将不等式转为等式 ; 如果是 $\geq$ 不等式 , 不等式左侧需要减去一个 剩余变量 , 将不等式转为等式 ;

该处理过程会增加新的变量 , 如松弛变量或剩余变量 , 优先级 低于 处理没有变量约束 的问题 ;

③ 先将之前 替换 或 新增的变量加入到目标函数中 , 在处理最大值最小值的问题 , 如果目标函数求最大值 , 什么都不用做 , 如果目标函数求最小值 , 需要将 求最小值的目标函数转为求最大值的目标函数 , 两边乘以 $-1$ ;

目标函数需要将之前所有的变量都总结到一起 , 上述两个步骤都会增加新的变量 , 因此转换目标函数的工作放在最后 ;

线性规划 普通形式 -> 标准形式 转化实例

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下面是线性规划问题模型 , 将其转化为标准形式 :

$\begin{array}{lcl}min Z = -2x_1 + x_2 + 3x_3 \\ \\ \\ \begin{cases} 5x_1 + x_2 + x_3 \leq 7 \\ \\ x_1 - x_2 - 4x_3 \geq 2 \\ \\ -3x_1 + x_2 + 2x_3 = -5 \\ \\ x_1 \geq 0 , x_2 \geq 0 , x_3 无约束 \end{cases} \end{array}$

1. 处理变量无约束的问题 ( 变量必须大于 0 )

处理决策变量 $x_3$ 无约束的问题 , 在标准形式中 , 所有的变量必须都 $\geq 0$ ;
这里使用 $x_3' - x_3''$ 代替 $x_3$ , 新增加的两个变量
$x_3' , x_3'' \geq 0$

注意之后的每个步骤都要考虑 将 $x_3$ 转为 $( x_3' - x_3'' )$ ;

2. 约束方程 $5x_1 + x_2 + x_3 \leq 7$ 转化 ( 松弛变量 )

该约束条件是 $\leq$ 不等式 , 需要在左侧加上 松弛变量 $x_4$ , 将 小于等于不等式 转为等式 ;
$5x_1 + x_2 + ( x_3' - x_3'' ) + x_4 = 7$

3. 约束方程 $x_1 - x_2 - 4x_3 \geq 2$ 转化 ( 剩余变量 )

该约束条件是 $\geq$ 不等式 , 需要在左侧减去 剩余变量 $x_5$ , 将 大于等于不等式 转为等式 ;
$x_1 - x_2 - 4( x_3' - x_3'' ) - x_5 = 2$

4. 约束方程 $-3x_1 + x_2 + 2x_3 = -5$ 转化 ( 右侧常数转正数 )

该式子是等式 , 但是右侧常数小于 $0$ , 这里需要将右侧的常数转化为正数 , 在方程两边乘以 $-1$ ;

$\begin{array}{lcl}\\ 原式 : & -3x_1 + x_2 + 2x_3 = -5 \\ \\ 两边乘以 -1 : & (-1) \times ( -3x_1 + x_2 + 2x_3 ) = (-1) \times ( -5 ) \\ \\ 最终结果 : & 3x_1 - x_2 - 2( x_3' - x_3'' ) = 5 \end{array}$

5. 目标函数转化

转化顺序说明 : 在处理上述转化时 , 需要加入新的变量 , 如 无约束的变量需要增加两个变量 , 约束方程的 松弛变量 和 剩余变量 , 因此目标函数最后转化 ;

( 1 ) 将新增的变量加入

原目标函数为 :
$min Z = -2x_1 + x_2 + 3( x_3' - x_3'' )$
新增的变量 :

• ① 之前 $x_3$ 没有约束变量 , 使用 $x_3' , x_3''$ 代替 ;
• ② 处理 $\leq$ 不等式时 , 加入了 $x_4$ 松弛变量 ;
• ③ 处理 $\geq$ 不等式时 , 加入了 $x_5$ 剩余变量 ;

此时加入 新增变量 后的 目标函数 为 :

$min Z = -2x_1 + x_2 + 3 ( x_3' - x_3'' ) + 0x_4 + 0x_5$

( 2 ) 最小值 转 最大值

标准形式的目标函数是求最大值 , 这里在上面加入变量的结果的基础上 , 两边乘以 $-1$ , 得到如下公式 :

$max Z = 2x_1 - x_2 - 3( x_3' - x_3'' ) + 0x_4 + 0x_5$

6. 最终结果 :

$\begin{array}{lcl} max Z = 2x_1 - x_2 - 3( x_3' - x_3'' ) + 0x_4 + 0x_5 \\ \\ \\ \begin{cases} 5x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 7 \\ \\ x_1 - x_2 - 4x_3 \geq 2 \\ \\ -3x_1 + x_2 + 2x_3 = -5 \\ \\ x_1 , x_2 , x_3' , x_3'', x_4 , x_5 \geq 0 \end{cases} \end{array}$