算法设计与分析课程复习笔记9——图的算法（含BFS、DFS）

算法设计与分析课程复习笔记9——图的算法（含BFS、DFS）

图的算法

图：物体与物体之间的连接关系
图的背景知识

• 图：节点+边
• 表示方法：图G=(V,E)
• 节点V，|V|=n,节点数目
• 边E，|E|=m,边数目

图的其他类型：连通图(如果任何两个顶点之间存在一个通路,则称图是连接的)，
二分图(无向图，由 $V_1$和 $V_2$组成，只在 $V_1$和 $V_2$之间的顶点存在边)

图的表示方法
邻接表

• 特性：有向图：邻接表长度的和等于边的数目
  无向图：邻接表长度的和等于两倍的边的数目
• 空间需求：Θ(V+E)
• 适合：|E|<<|V|²
• 缺陷：不容易判断顶点u和v之间是否存在边
• 罗列与u邻接顶点的时间开销：Θ(degree(u))
• 判断(u, v) ∈ E的时间：O(degree(u))

相邻矩阵

• 无向图的相邻矩阵具有对称性
• 空间需求：Θ(V²),与边无关
• 适合情况：|E|接近|V|²,需要快速确定两个顶点之间是否存在边
• 罗列与u邻接顶点的时间开销：Θ(V)
• 判断(u, v) ∈ E的时间：Θ(1))

有权图
图的边被赋予了权值
权的存储：邻接表：存储在边表表目中。相邻矩阵：存储在元素中。

图的遍历
两种基本搜索算法

• 广度优先搜索
• 深度优先搜索

广度优先搜索BFS

• 输入：图G = (V, E)，有向或无向。源顶点s ∈ V
• 目的：从临近源顶点s最近的顶点开始，通过对图G的边的探索发现从源顶点s能够抵达的每个顶点
• 输出：从s到v的距离d[v]。广度优先树：以s为根，包含所有可以抵达的顶点

广度优先：距离源顶点的距离逐渐增加来搜索相连通的其它顶点

过程追踪：

• 用白、灰和黑来标记顶点
• 最初为白
• 刚搜索到，灰
• 所有邻接顶点被搜索完，黑
• 先进先出队列来保存灰色顶点
  
  广度优先树BFT
• 源节点为树根
• 在搜索顶点u的临接顶点时一旦发现了顶点v，便将顶点v和边(u,v)加入到树中
• 在BFT中，u是v的父节点
• 一个顶点只被发现一次，因此只有一个父节点

BFS附加数据结构

• 邻接表法表示图G=(V,E)
• 顶点颜色color[u]
• 顶点u的父顶点π[u]
• 如果顶点是根顶点或没有被发现，父顶点为空。π[u] = NIL
• 从s到u的距离d[u]
• 应用FIFO队列Q存储灰色顶点

BFS算法
for each u ∈ V-{s}
　do color[u] ← WHITE
　　d[u] ← $\infty$
　　π[u] ← NIL
color[s] ← GRAY
d[s] ← 0
π[s] ← NIL
Q ← 空集
Q ← Enqueue(Q,s)
while Q ≠ 空集
　do u ← Dequeue(Q)
　　for each v ∈ Adj[u]
　　　do if color[v] = WHITE
　　　　then color[v] = GRAY
　　　　　　d[v] = d[u]+1
　　　　　　π[v] = u
　　　　　　Enqueue(Q,v)
　　color[u] ← BLACK

算法分析：


最短路径
BFS确定了从源节点到其他顶点的最短路径

深度优先搜索DFS

输入：图，没有源顶点G(V,E)
目的：从当前访问顶点开始，探索图的边以发现图中的每个顶点
搜索从多个源重复
输出：每个顶点有两个时间标记：发现时间d[v]，结束时间（检查v所有的邻接表）f[v]
深度优先森林DFF

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深度优先搜索

• 尽可能往深度搜索
• 最近发现的顶点v仍然有没有被搜索的边
• 顶点v的所有边搜索完后，回朔到v的父顶点搜索
• 这个过程不断继续，直到从源顶点可以抵达的所有顶点都被发现
• 如果图中存在还没有发现的顶点，选择其中之一作为新的源顶点重复上述搜索过程
• 深度优先搜索DFS产生的是深度优先森林

DFS附加数据结构

• 全局变量：时间步骤。在顶点发现和搜索完成时增加
• 颜色变量color[u]，和BFS类似。白：发现前，灰：发现处理中，黑：处理完成
• 顶点u的父顶点π[u]
• 发现、完成时间d[u]、f[u]

DFS算法：
DFS(V,E)
for each u ∈ V
　do color[u] ←WHITE
　　π[u] ← NIL
time ← 0
for each u ∈ V
　do if color[u] = WHITE
　　then DFS-VISIT(u)

DFS-VISIT(u)每次被调用时， u就成为深度优先森林中一棵新树的根节点

DFS-VISIT(u)
color[u] = GRAY
time ← time + 1
d[u] ← time
for each v ∈ Adj[u]
　do if color[v] = WHITE
　　　then π[v] = u
　　　　　DFS-VISIT(v)
color[u] = BLACK
time ← time + 1
f[u] = time

边的类型

• 树边：抵达白色顶点。
  边(u, v) 是一树边，如果v是在探索边(u, v)时首次被发现
• 回边：抵达灰色顶点。
  边(u,v)连接顶点u至其一个深度优先树的先辈顶点v
  有向图中的自回路也是回边
• 前向边：抵达黑色顶点，且d[u]<d[v]
• 横跨边：抵达黑色顶点，且d[u]>d[v]

算法分析：


DFS特性

• u = π[v] $\leftrightarrow$ DFS-VISIT(v) 在搜索u的邻接表时被调用
• 深度优先树上顶点v是顶点u的后裔 $\leftrightarrow$顶点v在顶点u处于灰色状态时被发现
• 顶点v是顶点u的后裔 $\leftrightarrow$d[u] < d[v] < f[v] < f[u]
• 在图G的任何深度优先森林中，顶点v是顶点u的后裔，当且仅当在时刻d[u]，存在一条u → v的路径只包含有白色顶点

括号定理
对于一个图的任何DFS，对于任何u,v,下列情况之一成立：

1. [d[u], f[u]]和[d[v], f[v]]不邻接， u和v 互不为后裔
2. [d[u], f[u]] 包含[d[v], f[v]]， v是u的后裔
3. [d[v], f[v]] 包含[d[u], f[u]] ， u是v的后裔

拓扑排序

拓扑排序：找出有向无回路图G = (V, E)中顶点的一个线性序，使得(u, v)如果是图中的一条边，那么在这个线性序中u在v前出现

顶点水平排列，有向边从左到右。

TOPOLOGICAL-SORT(V, E)

1. 调用DFS(V, E) ，对每个顶点v计算其完成时间f[v]
2. 顶点完成，将之插入到连接表前端
3. 返回顶点的连接表

运行开销： $Θ(V + E)$

引理：有向图是无回路的 $\leftrightarrow$深度优先搜索DFS不产生回边

强连通分支SCC
有向图G = (V, E)中的强连通分支是它的顶点的极大集C(V的子集） ，在该集中，每一对顶点u, v ∈ C有u → v 和v → u

图的转置
G^T是G的所有边转向
应用邻接表，我们可以在 $Θ(V + E)$时间创造G^T

G^T和G有相同的SCC

有向无回路图的SCC确定方法：在G和G^T做深度搜索

强连通分支的求解

1. 在图上执行深度优先搜索，计算每个顶点u的完成时刻f[u]
2. 构成转置图G^T
3. 从具有最大f[u]的顶点开始，在G^T上执行深度优先搜索，如果深度优先搜索不能到达所有的顶点，则在余下的顶点中找一个f[u]最大的顶点，开始下一次深度优先搜索
4. 在最终得到的森林中的每一棵树对应一个强连通分支

分支图

两个引理

1. C和C’是图G的SCC，u, v ∈ C，u^’,v^’∈ C，假设图G中存在通路u → u^’，则不可能存在v^’→ v
2. C和C’是有向图G = (V, E)的SCC，如果存在边(u, v) ∈ E ，u ∈ C， v ∈ C’，则有f(C) > f(C’)

参考：任课教师邱德红教授的课件