算法设计与分析课程复习笔记11——单源最短路径

算法设计与分析课程复习笔记11——单源最短路径

单源最短路径

最短路径问题
输入：有权有向图G=(V,E)
路径p={ $v_0, v_1, . . . , v_k$}的权：
$\displaystyle \sum_{i=1}^kw(v_{i-1},v_i)$
最短路径的权：
$δ(u,v)=\left\{ \begin{aligned} min(w(p)):u → v,　if　there　exist　a　path　from　u　to　v\\ \infty,　otherwise\\ \end{aligned} \right.$

最短路径的不同形式

• 单源最短路径
  从给定的源顶点s到图中其他顶点v ∈ V的最短路径
• 单目的地最短路径
  图中的顶点v ∈ V到某个给定的目的顶点t的最短路径
  反向图，演变为单源最短路径问题
• 单点对最短路径问题
  给定两顶点u和v ，求u到v的最短路径
• 全对点最短路径问题
  图中所有点对之间的最短距离

最短路径的优化基础
给定G=(V,E)
权函数
$v_1$到 $v_k$的最短路径p
p的部分路径 $p_{ij}$
那么要求：p的部分路径 $p_{ij}$也是最短路径

权值为负的边
负权边可能形成负权回路，如果从源顶点s能够抵达负权回路的顶点v,则有: w(s, v) = - $\infty$

回路
最短路径可否有回路？不可以！！！
负权回路将导致：w(s, v) = - $\infty$
正权回路显然不能加入，因为如有移除，将产生更短的路径
零权回路也不能加入，因为移除不会对最短路径的权产生任何影响

初始化算法
InitializeSingleSource(V,s)
for each v ∈ V
　do d[v] ← $\infty$
　　 π[v] = NIL
d[s] ← 0

所有的最短路径算法都以初始化开始

缩短法
所谓对边(u, v)的缩短，即是检查能否通过顶点u，改善已有的到达v的最短路径
Relax(u,v,w)
　if d[v] > d[u] + w(u,v)
　　then d[v] ← d[u] + w(u,v)
　　　　 π[v] ← u

所有单源最短路径算法，从初始化算法开始，然后是缩短算法
算法之间的差别在于缩短算法的执行顺序和次数

Bellman-Ford算法
单源最短路径问题，允许负权值边，
返回值：如果从源顶点s没有可抵达的负权值回路，返回‘真’，其余的返回‘假’，无解
思想：遍历所有的边|V – 1|次，每次对每条边执行一次缩短运算

BellmanFord
　InitializeSingleSource(V,s)　　 $Θ(V)$
　for i ← 1 to |V|-1　　　　　　 $O(V)$
　　do for each edge (u,v) ∈ E　 $O(E)$
　　　　do Relax(u,v,w)
　for each edge (u,v) ∈ E　　　 $O(E)$
　 　do if d[v] > d[u] + w(u,v)
　 　　　then return FALSE
　return TRUE

运行开销： $O(VE)$

最短路径特性
三角不等式
δ(s, v) ≤ δ(s, u) + w(u, v)
-上限特性
对于任何顶点v， d[v] ≥ δ(s, v)成立
一旦d[v] = δ(s, v)成立, d[v] 便不再改变

• 无通路特性
  如果不存在从s到v的通路，则有d[v] = ∞
• 收敛性
  如果s~u → v 是一条最短路径，在对边(u, v)进行缩短操作之前的任何时刻有d[u] = δ(s, u), 那么在对边(u, v)进行缩短操作之后的任何时刻有d[v] = δ(s, v)
• 路径松弛特性
  p = { $v_0, v_1, . . . , v_k$} 是从源顶点v $_0$到 $v_k$的最短路径，如果缩短操作是按照( $v_0$, $v_1$), ( $v_1$, $v_2$), . . . , ( $v_{k-1}$, $v_k$)进行的,即使其中有其他缩短操作穿插，d[ $v_k$ ] = δ(s, $v_k$)成立

DAG的单源最短路径
思想：
对图进行拓扑排序
依据拓扑排序对边进行缩短操作
DGA中没有负权值回路, 因此存在最短路径

DAG-SHORTEST-PATHS(G,w,s)
　topologically sort the vertices of G(拓扑排序)　　 $Θ(V+E)$
　InitializeSingleSource(V,s)(初始化)　　 $Θ(V)$
　for each vertex u, taken in topologically sorted order(依据拓扑排序顶点顺序)
　　do for each vertex v ∈ Adj[u]
　　　　do Relax(u,v,w)

运行开销： $Θ(V+E)$

Dijkstra算法

• 单源最短路径，不存在负权值边界
• 两类顶点的集合，S：集合中顶点的最短路径已经确定，Q：V-S,极小优先队列，Q中的值是最短路径的估计
• 重复的从Q中选择具有最短估计距离的顶点进行处理

Dijikstra(G,w,s)
　InitializeSingleSource(V,s)(初始化)
　S ← 空集
　Q ← V[G]
　while Q ≠ 空集
　　u ← Extract-min(Q）
　　S ← S ∪ {u}
　　for each vertex v ∈ Adj[u]
　　　do Relax(u,v,w)


参考：任课教师邱德红教授的课件