算法设计与分析课程复习笔记12——全点对最短路径

算法设计与分析课程复习笔记12——全点对最短路径

全成对最短路径

输入：有向图G=(V,E), 权函数w，
计算:图中任何点对之间的最短距离
结果表示: n × n矩阵, 元素是对应的点对之间的最短距离δ(u, v)

解决方案：

• 对于每一个顶点, 运行BELLMAN-FORD(单源最短))
  计算开销: O(V²E), 甚至O(V⁴)：对于边稠密的图
• 如果不存在负权值边, 可利用Dijkstra’s算法计算单源最短
  计算开销:O(VElgV), 甚至O(V³lgV)：对于边稠密的图
• 可以设计O(V³)开销的全成对最短路径算法，且不需要特殊的数据结构

最短路径的优化结构

• 最短路径的部分路径必然是最短的
• p是从i到j至多含有m条边的最短路径
  if i = j ,w(p) = 0
  if i ≠ j , p = i ~(p’)k→j，p’最多有m-1条边，p’也是最短路径
  δ(i, j) = δ(i, k) + $w_{kj}$

递归解
$l_{ij}^{(m)}$:从i到j至多含有m条边的最短路径的权
m=0, $l_{ij}^{(0)}$=0,if i =j;　 $l_{ij}^{(0)}$= $\infty$,if i ≠j。
m $\geq$ 0, $l_{ij}^{(m)}$ = $min_{1≤k≤n}\{l_{ik}^{(m-1)}+w_{kj}\}$

计算最短路径
m=1: $l_{ij}^{(1)}$= $w_{ij}$, $L^{(1)}$=W
给出W = ( $w_{ij}$), 计算 $L^{(1)}, L^{(2)}, …, L^{(n-1)}$
$L^{(n-1)}$包含最短路径
计算过程：给出 $L^{(m-1)}$和W，计算 $L^{(m)}$
如果没有负权回路, 所有的最短路径至多含有n -1条边, 因此有
δ(i, j) = $l_{ij}^{(n-1)}$and $l_{ij}^{(n)}$, $l_{ij}^{(n+1)}$……= $l_{ij}^{(n-1)}$

延伸算法
Extend(L,W,n)
　create L’, an n*n matrix
　for i ← 1 to n
　　do for j ← 1 to n
　　　　do $l_{ij}'$ ← $\infty$
　　　　　for k ← 1 to n
　　　　　　do $l_{ij}'$ ← min( $l_{ij}'$, $l_{ik}$+ $w_{kj}$)
　return L’

运行开销： $Θ(n^3)$

成对最短路径算法（慢速）
SLOW-ALL-PAIRS-SHORTEST-PATHS(W,n)
　 $L^{(1)}$ ← W
　for m ← 2 to n-1
　　do $L^{(m)}$ ← Extend( $L^{(m-1)}$,W,n)
　return $L^{(n-1)}$

运行开销： $Θ(n^4)$

例如给定W，先计算 $L^{(1)}$=W，则 $L^{(m-1)}$= $L^{(1)}$,接着由 $L^{(m-1)}$和W计算 $L^{(m)}$= $L^{(2)}$，以此类推，直到计算出 $L^{(4)}$

改进运行时间

• 不必计算所有 $L^{(m)}$
• 如果没有负回路, 则有: $L^{(m)}$= $L^{(n-1)}$ for all m $\geq$n-1
• 通过计算以下序列： $L^{(1)}$=W， $L^{(2)}$=W²=W*W, $L^{(4)}$=W⁴=W²*W², $L^{(8)}$=W⁸=W⁴*W⁴

$L^{(n-1)}$= $W^{2^{\lceil lg(n-1)\rceil}}$

快速算法FASTER-APSP(W, n)
　 $L^{(1)}$ ← W
　m ← 1
　while m < n-1
　　do $L^{(2m)}$ ← Extend( $L^{(m)}$, $L^{(m)}$,n)
　　　m ← 2m
　return $L^{(m)}$

运行开销： $Θ(n^3lgn)$

Floyd-Warshall 算法
给定：G(V,E),可以存在负权边，但不能存在负权回路。
计算：点对之间的最短距离

最短路径结构
对于任何点对i和j, 考虑所有从i到j的路径, 这些路径的中间节点来自集合{1, 2, …, k}
$d_{ij}^{(k)}$：从i到j的路径的权值, 中间节点来自集合{1, 2, …, k} )

例如：

如果顶点k不是路径p的中间节点，则从i到j的中间节点来自{1, 2, …,k}的最短路径即是从i到j的中间节点来自{1,2, …, k - 1}的最短路径。
如果顶点k是路径p的中间节点，则 $p_1$是i到k的最短路径， $p_2$是k到j的最短路径,k不是 $p_1$， $p_2$的中间节点， $p_1$和 $p_2$是最短路径。

递归解
k=0, $d_{ij}^{(k)}$= $w_{ij}$
k $\geq$ 1,顶点k不是路径p的中间节点, $d_{ij}^{(k)}$= $d_{ij}^{(k-1)}$
顶点k是路径p的中间节点, $d_{ij}^{(k)}$= $d_{ik}^{(k-1)}$+ $d_{kj}^{(k-1)}$

最终解： $D^{(n)}$=( $d_{ij}^{(n)}$)

FLOYD-WARSHALL(W)
　n ← rows[W]
　 $D^{(0)}$ ← W
　for k ← 1 to n
　　do for i ← 1 to n
　　　　do for j ← 1 to n
　　　　　　do $d_{ij}^{(k)}$ ← min( $d_{ij}^{(k-1)}$, $d_{ik}^{(k-1)}$+ $d_{kj}^{(k-1)}$)
　return $D^{(n)}$

运行开销： $Θ(n^3)$

参考：任课教师邱德红教授的课件