算法设计与分析课程复习笔记10——最小生成树

算法设计与分析课程复习笔记10——最小生成树

最小生成树MST

修路问题
一个小镇有一些房子和一些路，每条路连接且仅连接2座房子，连接u和v房子的路的维修代价为w(u,v),
现在要维修仅够需求的道路，使得：每两座房子之间保持连通，维修代价最小。

图为连通无向图，顶点为房子，边为路，维修费用为边的权。
找到一个T，T为E的子集，并且w(T)= $\displaystyle \sum_{(u,v)∈T}w(u,v)$

最小生成树特性

• 非唯一
• 没有回路
• MST边的数目为顶点数目减1

MST生成
一般方法：
创建一个边的集合A,起始时为空
逐渐向A中添加边并保持A属于某个MST
当且仅当A ∪ {(u, v)}是MST的子集，我们说边(u, v)对于A是安全的

MST一般算法
A ← 空集
while A is not a spanning tree(没有形成生成树）
　do find an edge(u,v) that is safe for A(寻找对A安全的边(u, v)）
　　Ａ ← A ∪ {(u,v)}
return A

如何找到对A安全的边？
一些定义：

• 切割：将图的顶点分成两个互不相连的两个集合S和V – S
• 如果一个边的两个端点分别在切割的两个集合S和V - S中,我们说该边横跨该切割
• 一个切割不干预集合A $\leftrightarrow$ 集合A中没有边与该切割相交
• 横跨切割的轻边 $\leftrightarrow$ 所有横跨切割的边中权值最小的边

定理：
A是MST的子集， (S, V - S)是不干预A的一个切割， (u, v)是横跨该切割的轻边，那么， (u, v)对于A是安全的。

Kruskal算法

1. 从每个顶点开始,每个顶点即是个组件
2. 通过选择轻边LE，不断的将两个组件连接起来
3. 依权值递增顺序检查边的集合
4. 利用不相关集合的数据结构判断边是否连接不同的组件

不相关集合的操作

1. MAKE-SET(u)创建集合，仅含元素u
2. FIND-SET(u)包含u，返回代表元素

• 集合的任何元素具有某个特定的属性
• 集合 $S_u$的特性是按字母顺序的第一个字母
  E.g.: $S_u$ = {r, s, t, u},FIND-SET(u) = r,FIND-SET(s) = r
• 对于给定的集合，返回同样的值

3. UNION(u,v)合并操作
   E.g.: $S_u$ = {r, s, t, u}, $S_v$ = {v, x, y}
   UNION (u, v) = {r, s, t, u, v, x, y}

Kruskal(V,E,w)
　A ← 空集
　for each vertex v ∈ V
　　do MAKE-SET(v)
　sort E into non-decreasing order by weight w（权值递增排序）
　for each (u, v) taken from the sorted list
　　do if FIND-SET(u) ≠ FIND-SET(v) （属于不同的组件）
　　　then A ← A ∪ {(u, v)}
　　　　UNION(u, v)
　return A

运行开销： $O(ElgV)$

Prim算法

1. 集合A中的边形成一棵树
2. 从任意选定的根开始
3. 每次

• 确定切割( $V_A$, V - $V_A$)的LE
• 将LE加入A
• 重复直到树包含所有顶点

4. 贪婪策略：每次加入的边使树的边的权值和增加最小

如何快速确定LE？
利用优先队列

• 包含所有不在树中的顶点(V – $V_A$)
• 每个顶点赋予一个关键值，即树中连接至v的任何边(u, v)的最小权值
  如果v与 $V_A$任何的顶点不相连，则关键值为 $\infty$
  增加节点后，所有与之相连的节点的关键值要做调整

Prim(V,E,w,r)
　Q ← 空集
　for each u ∈ V
　　do key[u] ← $\infty$
　　 　π[u] ← NIL
　key[r] ←0
　Q ← V
　while Q ≠ 空集
　　　do u ← EXTRACT-MIN(Q)
　　　for each v ∈ Adj[u]
　　　　do if v ∈ Q and w(u, v) < key[v]
　　　　　　then π[v] ← u
　　　　　　　　key[v] ← w(u, v)

算法分析

参考：任课教师邱德红教授的课件