Matemáticas avanzadas: Teorema de Descartes (Parte 1)

1. Estudio preliminar sobre la tangencia de cuatro círculos.

"Cuatro círculos son tangentes" se refiere específicamente a "los cuatro círculos en el plano son tangentes entre sí y no tangentes entre sí". Su historia se remonta a antes de Cristo. Desde el período griego antiguo, los matemáticos han comenzado a prestar atención a esta figura única, no sólo por su incomparable belleza geométrica, sino también por su exquisita relación algebraica.

Aunque es una vieja pregunta de miles de años, ya que la estamos explorando desde el principio, todavía es necesario preguntarse: "¿Existe la tangencia de cuatro círculos?"

Cuando las situaciones complejas no estén claras, comience con las simples. Hay muchos ejemplos de tangencia de tres círculos, que se pueden resumir en dos tipos: (1) "Externo-Externo-Externo" - tres círculos no se contienen entre sí y dos círculos están circunscritos; (2) "Tangente interior -inscrito-externo”: un círculo grande está inscrito con dos círculos pequeños y los dos círculos pequeños están circunscritos. Con base en la tangencia de los tres círculos, solo nos falta conformar el cuarto círculo para hacerlo tangente a los otros tres círculos.

Entonces, ¿existe el cuarto círculo?

Parece existir, pero todavía quedan algunas dudas en la expresión estricta, así que sigamos simplificando: hay un círculo entre dos rectas paralelas, ¿hay un cuarto círculo que sea tangente a las tres curvas?

Presumiblemente los lectores pueden resolver este problema en segundos: no sólo existen tales círculos, sino que hay exactamente dos.

La conclusión no parece útil; después de todo, está un poco simplificada. Pero no olvide que tenemos una poderosa herramienta para "convertir círculos en líneas": la transformación por inversión. Si cualquier figura con tres círculos tangentes puede transformarse en una situación de "líneas rectas paralelas intercalando un círculo", el problema se resolverá de inmediato.

Siguiendo esta línea de pensamiento, no es difícil construir la transformación de inversión requerida: para obtener dos líneas rectas después de la inversión, el centro de inversión debe ubicarse en el punto tangente de los dos círculos. De esta manera, los dos círculos que pasan por el centro de inversión se convierten en dos líneas rectas paralelas; lo que es más importante, debido a la circularidad y la autoinversión de la transformación de inversión, la inversión del tercer círculo no es solo un círculo, sino también un círculo. ¡Exactamente tangente a dos rectas! El resto es fácil: encuentra el inverso del cuarto círculo y haz la inversión.

La descripción del texto es un poco abstracta y la animación demuestra el proceso directamente:

Cómo usar la transformación inversa para encontrar el cuarto círculo
https://www.zhihu.com/video/1211009026919923712
Volviendo a la pregunta original: "¿Puedo agregar un cuarto círculo para que sea tangente a los otros tres círculos?" La respuesta Es sí, no solo eso, sino que según el análisis de hace un momento, hay exactamente dos círculos que cumplen con los requisitos. Ponga los resultados anteriores en un teorema:

Teorema de Apolonio (Teorema de Apolonio) Para tres círculos \color{grey}{C_1, C_2, C_3} dados que son tangentes entre sí (pero no en un punto), hay exactamente dos círculos con \color{grey} {C_1, C_2, C_3} color{gris}{C_1, C_2, C_3} son todos tangentes.
Las siguientes animaciones muestran la posición específica del cuarto círculo en los dos casos de "ex-ex-ex" e "in-in-ex".

Demostración de la posición del cuarto círculo
https://www.zhihu.com/video/1211012935990140928
Entonces, existe la tangencia de los cuatro círculos.

Y debido al requisito de tangencia, los cuatro círculos se restringen entre sí y debe haber una conexión oculta entre ellos. En 1643, el matemático francés Descartes señaló la relación entre los radios de cuatro círculos en una letra, que es el famoso Teorema de Descartes (Teorema de Descartes). Para probar esta conclusión, necesitamos hacer algunas adiciones a la circularidad de la transformación de inversión, especialmente a la relación cuantitativa que aparece en ella.

En segundo lugar, observe la circularidad de la transformación de inversión.

La transformación inversa puede garantizar la forma del círculo generalizado, pero después de la transformación, ¿cuál es el tamaño de la forma inversa? ¿Dónde está la ubicación? Recuerde varias situaciones discutidas anteriormente:

1. Línea recta que pasa por el centro de inversión \mapsto Línea que pasa por el centro de inversión

Es fácil, la antiforma coincide exactamente con la imagen original, no hay nada que decir.

2. Una recta \mapsto que no pasa por el centro de la inversión \mapsto un círculo que pasa por el centro de la inversión

Supongamos que el radio del círculo de inversión es R, el centro de inversión es O y la distancia desde el punto O a la línea l es d. Traza ahora el segmento perpendicular OA de O a l y encuentra el antipunto A' del pie A. Según la circularidad de la transformación de inversión, sabemos que la forma inversa de la recta l es un círculo que pasa por O, y OA' es el diámetro de este círculo. Se puede ver en la definición que |OA'| = R^2/d, por lo que el radio de la forma inversa es R^2/(2d), y la línea que conecta el centro del círculo y O es perpendicular a l .

3. Un círculo \mapsto que pasa por el centro de la inversión \mapsto una recta que no pasa por el centro de la inversión

Es similar al caso anterior, por lo que no entraré en detalles aquí y daré la conclusión directamente: supongamos que el radio del círculo invertido es R, el radio de la imagen original es r y el centro del círculo es C. , y pasa por el punto O. Entonces la inversa de \odot C es una línea recta perpendicular a OC, y la distancia desde el punto O a la línea recta es R^2/(2r).

4. El círculo no pasa por el centro de inversión \mapsto El círculo no pasa por el centro de inversión

Suponga que el radio del círculo de inversión es R, el centro de inversión es O, el radio de la imagen original es r, el centro del círculo es C y la distancia al centro |OC| = d. Ahora conecta OC y extiéndelo, cruza la imagen original en dos puntos A, B y encuentra el antipunto A', B' de los dos. Según la circularidad, el inverso de \odot C es un círculo que no pasa por O, y A'B' es el diámetro de este círculo. Según la definición de inversión, se puede obtener rápidamente: |A'B'| = 2 R ^2r/|d 2-r^2|, el valor absoluto en el denominador es para cuidar el caso en que la imagen original contiene el centro de inversión. Entonces el inverso de \odot C es un círculo con radio R ^2r/|d 2-r^2|, cuyo centro I es colineal con O,C, y |OI| = R^2 d/|d 2- ^r 2 |.

En cualquier caso, la relación de tamaño y posición entre la forma inversa y la imagen original ya es clara, y es fácil encontrar la relación entre el radio de la imagen original.

La restricción de tamaño entre los tres y cuatro círculos - Teorema de Descartes (Teorema de Descartes)

Los preparativos están listos, ahora puedes comprobar la relación de tamaños en la tangencia de cuatro círculos:

Teorema de Descartes (Teorema de Descartes) Supongamos que las curvaturas direccionales de cuatro círculos tangentes por pares \color{grey}{C_1, C_2, C_3, C_4} son \color{grey}{k_1, k_2, k_3, k_4 } , entonces satisface la relación: \color{grey}{(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2 = 2(k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2)} \curvatura dirigida y circunferencia Orientación relacionada,
pero No hablaremos de tantos conceptos por el momento, sólo necesitas entender: (1) el tamaño de la curvatura es |k_i| = 1/r_i; (2) la curvatura direccional tiene un signo (positivo o negativo) , si dos círculos están circunscritos, sus signos de curvatura son los mismos; si dos círculos están inscritos, sus signos de curvatura son diferentes; (3) Para cualquier patrón tangente de cuatro círculos, siempre que se especifique el signo de curvatura de un determinado círculo , el resto El signo de la curvatura del círculo se puede determinar completamente.

Los siguientes son dos patrones tangentes de cuatro círculos, simplemente puede verificar el cálculo para encontrar el sentimiento y experimentar la comprensión anterior.

La idea de procesamiento es la misma que la del teorema de Apolonio, y el proceso de demostración se divide en tres pasos: (1) utilizar la transformación de inversión para convertir "cuatro círculos tangentes" en un caso simple de "dos líneas intercalando dos círculos"; (2) encontrar el radio de la inversión en casos simples; (3) deducir inversamente el radio de la imagen original según la inversión y el círculo de inversión.

A continuación, tomemos el patrón del lado derecho de la figura anterior como ejemplo para presentar la demostración del teorema cartesiano. Los colores de los cuatro círculos C_1, C_2, C_3 y C_4 en la figura son rosa, rojo, verde y azul respectivamente, y se supone que los radios son r_1, r_2, r_3 y r_4 respectivamente, y las curvaturas direccionales son k_1, k_2, k_3 y k_4.

De hecho, el primer paso se ha realizado antes: coloque el centro de inversión en el punto tangente de dos de los círculos, y la inversión formará naturalmente "dos líneas que intercalan dos círculos". Supongamos que elegimos el punto tangente del círculo verde C_3 y el círculo azul C_4 como centro de inversión, entonces sus formas inversas C_3' y C_4' son dos líneas rectas paralelas, y las formas inversas C_1' y C_2' del círculo rosa C_1 y el círculo rojo. C_2 quedará atrapado entre los dos.

Dado que aún no se ha determinado el radio del círculo de inversión, la distancia entre las dos líneas rectas se puede cambiar a voluntad. Para facilitar el cálculo, seleccionamos el radio R del círculo de inversión en el segundo paso, de modo que la distancia entre las dos líneas rectas sea exactamente 2. De esta forma, el radio del círculo encerrado por la recta es 1. De acuerdo con la relación cuantitativa discutida anteriormente, dicha R debe existir porque la siguiente ecuación tiene una solución: \left| \dfrac{R^2}{2r_3} - \dfrac{R^2}{2r_4} \right| = 2 \ El lado izquierdo del signo igual es la distancia entre dos líneas rectas. Y no nos importa qué tan grande sea R, sólo necesitamos saber que existe, no hay necesidad de resolver la ecuación.

Con la forma estándar de "dos líneas y dos círculos", la poderosa herramienta de geometría analítica puede resultar útil. Establezca un sistema de coordenadas con el punto tangente de C_1' y C_2' como origen, de modo que las dos líneas rectas sean y=\pm1. Con el sistema de coordenadas se pueden determinar las coordenadas del centro de la forma inversa y el centro de inversión O. En nuestro ejemplo elegido, O está por encima de C_4', por lo que se puede suponer que las coordenadas del punto O son (x_0,y_0) e y_0>1.

Ahora que se conocen la ecuación inversa y las coordenadas del centro de inversión, el radio de la imagen original se puede derivar de acuerdo con la relación cuantitativa en circularidad: r_1 = \dfrac{R 2} ^{x_0 2+2x_0+y_0^2}, \ quad r_2 = \dfrac{R ^2}{x_0 2-2x_0+y_0^2}, \ r_3 = \dfrac{R^2}{2(y_0+1)}, \quad r_4 = \dfrac{R^2} { 2(y_0-1)} \ Al calcular la curvatura dirigida a partir del radio, lo único a lo que hay que prestar atención es el signo. Los otros círculos en la imagen original están inscritos con C_4, por lo que el signo de curvatura de C_4 es diferente de ese. de otros círculos. Suponiendo que su signo de curvatura es negativo, obtenemos: k_1 = \dfrac{x_0 ^2+2x_0+y_0 2}{R^2}, \quad k_2 = \dfrac{x_0 ^2-2x_0+y_0 2}{R^2} , \ k_3 = \dfrac{2(y_0+1)}{R^2}, \quad k_4 = \color{red}{-}\dfrac{2(y_0-1)}{R^2} \ El resto es Verifique que ambos lados del signo igual sean iguales:
$$(k_{}+k_{}+k_{}+k_{}{)}^2=\frac{}{R^4}\left(x_0^{}+2x{\_}_0^{}{y}_0^{}+y_0^{}+4x{\_}_0^{}+4{años}_0^{}+4\right)=2(k_1^{}+k_2^{}+k_3^{}+k_4^{})$$
Certificado completado.

Para ser honesto, esta prueba no es tan interesante como se imagina, sin mencionar el uso de geometría analítica, siempre debemos prestar atención a la discusión de clasificación y los detalles de cálculo. Sin embargo, vale la pena aprender las ideas de resolución de problemas que contiene: comenzar desde una situación simple y luego intentar convertir la situación compleja en una situación simple tanto como sea posible y, al mismo tiempo, aclarar la relación antes y después de la transformación. , y completar el resto según el proceso.

Con el teorema de Apolonio y el teorema de Descartes como soporte teórico, podemos hacer cosas más agradables, como dibujar fractales con patrones tangentes de cuatro círculos como semillas. ¡Estos fractales están formados por un número infinito de círculos tangentes, todos los cuales tienen curvaturas enteras (números en los círculos)!

Si ves esto, estás ansioso por intentar usar una computadora para dibujar fractales y encontrarás que un problema clave no se ha resuelto: ¿dónde están colocados estos círculos? Daré la respuesta en un artículo posterior y tendré que discutir los maravillosos patrones y conclusiones que se derivan de la tangencia de los cuatro círculos.