[Matemáticas avanzadas] Continuamente diferenciable y diferenciable (Definición + Prueba + Método de memoria)

Continuamente diferenciable y diferenciable.

1.Definición

1.1 Definición de continuo

1. Definición 1

   Sea y = f(x) en el punto $X_{}$tiene una definición en un campo determinado, si

   $\underset{\Delta x\to 0}{}\Delta y\_\_=\underset{\Delta x\to 0}{}\left[f\right(x_{}+\Delta x)-f(x_{}\left)\right]=0$

   Entonces se dice que y = f(x) está en el punto $X_{}$Continuo en todas partes

2. Definición 2

   Sea y = f(x) en el punto $X_{}$tiene una definición en un campo determinado, si

   $\underset{\Delta x\to 0}{}f\left(x\right)=f\left(x_{}\right)$

   Entonces se dice que y = f(x) está en $X_{}$Continuo en todas partes

1.2 Definición de diferenciable

Sea y = f(x) en el punto $X_{}$está definido en un campo determinado, si el límite

$\underset{\Delta x\to 0}{}\frac{\Delta y\_}{\Delta x\_\_}=\underset{\Delta x\to 0}{}\frac{f(x_{}+\Delta x)-f(x_{}}{\Delta x\_\_}$

existe, entonces se dice que f(x) está en el punto $X_{}$Es diferenciable en todas partes, denotado como $F^{\prime }\left(x_{}\right)$ también se puede escribir como$y^{\prime }{|}_{x=x_{}},\frac{d}{dx}{|}_{x=x_{}},\frac{df(x}{dx}{|}_{x=x_{}}$

1.3 Definición de diferenciable

Sea y = f(x) en el punto $X_{}$Se define en un determinado campo $\Delta y\_\_=f(x_{}+\Delta x)-f\left(x_{}\right)$ se puede expresar como

$\Delta y\_\_=A\Delta x\_+o\left(\Delta x\right),\_(\Delta x\_\_\to 0)$ ,

donde A es independiente de $\Delta x$ es una constante, entonces se dice que la función está en$x$$X_{}$Diferenciable en todas partes, y $A\Delta x$ se le llama función$y=f\left(x\right)$ en el punto$X_{}$Relativo al incremento de la variable independiente $El\; diferencial\; de\; \Delta x$ se denota como dy, es decir,
$dy=A\Delta x\_$

2. La relación entre los tres

3. Prueba de parentesco

3.1 Diferenciabilidad y Diferenciabilidad

1. El diferenciable debe ser conductor.

   Según la definición anterior, suponiendo que la función es diferenciable en el punto y=f(x), divide ambos lados de la función por $\Delta x,$ obtenemos

   $\frac{\Delta y\_}{\Delta x\_\_}=A+\frac{o(\Delta x}{\Delta x\_\_}$

   当$\Delta x\_\_\to A\; las\; 0$ en punto hay

   $A=\underset{\Delta x\to 0}{}\frac{\Delta y\_}{\Delta x\_\_}=F^{\prime }\left(x_{}\right)$

   Conoce la definición de derivable

2. La derivable debe ser diferenciable.

   若$y=f\left(x_{}\right)$ en el punto$X_{}$se puede derivar, entonces

   $\underset{\Delta x\to 0}{}\frac{\Delta y\_}{\Delta x\_\_}=F^{\prime }\left(x_{}\right)$

   Existe, según la relación entre límite e infinitesimal (Teorema 1, Capítulo 1, Sección 4, Matemáticas Avanzadas), se puede escribir como

   $\frac{\Delta y\_}{\Delta x\_\_}=F^{\prime }\left(x_{}\right)+a$

   donde $a\to 0(cuando\Delta x\to 0)$ , multiplica ambos lados por$\Delta x$ , hay

   $\Delta y\_\_=F^{\prime }\left(x_{}\right)re+unrex\_$

   因$unrex\_=o\left(\Delta x\right)$ y$F^{\prime }\left(x_{}\right)$ no depende de$\Delta x$ , consistente con la definición de diferenciable

3.2 Diferenciable y continua

1. Diferenciable (diferenciable) debe ser continuo.

   Consejos: se puede ver en la prueba anterior que la función $f\left(x_{}\right)$ en$X_{}$La condición necesaria y suficiente para que un punto sea diferenciable es que la función $f\left(x_{}\right)$ en$X_{}$Los puntos son diferenciables, por lo que siempre que se demuestre que la diferenciabilidad debe ser continua, se puede deducir que la diferenciabilidad debe ser continua.

   Se puede derivar la siguiente prueba de que debe ser continua

   Sea la función $y=f\left(x\right)$ es diferenciable en x, es decir

   $\underset{\Delta x\to 0}{}\frac{\Delta y\_}{\Delta x\_\_}=F^{\prime }\left(x\right)$, según la relación entre límite e infinitesimal (Teorema 1, Capítulo 1, Sección 4, Matemáticas Avanzadas), se puede escribir como

   $\frac{\Delta y\_}{\Delta x\_\_}=F^{\text{'}}\left(x\right)+a$

   donde $a\to 0(cuando\Delta x\to 0)$ , multiplica ambos lados por$\Delta x$ , hay

   $\Delta y\_\_=F^{\prime }\left(x\right)\Delta x+unrex\_$

   Se puede observar que cuando $\Delta x\_\_\to 0$时，$\Delta y\_\_\to 0$ , que se ajusta a la definición de continuidad de función 1, por lo que la derivada debe ser continua

2. Continuo no es necesariamente diferenciable

   Contraejemplo: $y=|x|continua$ pero no diferenciable

   1. Prueba 1

      La imagen de la función es la siguiente:

      

      El significado geométrico de la derivada es la pendiente de la recta tangente, es decir, $F^{\prime }\left(x_{}\right)=tan\alpha$ , es fácil saber que la pendiente en el lado izquierdo del origen es -1 y en el lado derecho es 1. Las derivadas izquierda y derecha no son iguales, por lo que no son diferenciables (la necesaria y suficiente La condición para la derivación es que los límites izquierdo y derecho existan y sean iguales).

4.Método de memoria

La diferenciabilidad y la diferenciabilidad son equivalentes, así que recuerde la relación entre los tres, solo recuerde que continuo no es necesariamente diferenciable\diferenciable .

5. Artículos de referencia

1. Matemáticas Avanzadas (7ma Edición)
2. Curso en línea de Wu Zhongxiang + conceptos básicos de matemáticas avanzadas

Al final del artículo, me gustaría agradecer al hermano Huagong Yue por su ayuda y orientación.