Propiedades de funciones continuas en intervalos cerrados.
Continuidad
Primero introduzca el concepto de continuidad continua de funciones.
Deje que la función sea continua en el intervalo \ (I \) , \ (x_0 \) es un punto arbitrario en \ (I \) . Dado que \ (f (x) \) es continua en el punto \ (x_0 \) , Entonces \ (\ forall \ varepsilon> 0 \) , \ (\ exist \ \ delta> 0 \) , de modo que cuando \ (| x-x_0 | <\ delta \) , haya \ (| f (x) -f (x_0) | <\ varepsilon \) . Por lo general, este \ (\ delta \) no solo está relacionado con \ (\ varepsilon \) , sino también con el \ (x_0 \) dado , incluso si \ (\ varepsilon \) no lo está Cambie, pero al seleccionar otros puntos en el intervalo como \ (x_0 \) , este \ (\ delta \) no es necesariamente aplicable. Para algunas funciones, hay un caso importante: solo hay \ (\ varepsilon \) Relacionado, y un número positivo que se puede aplicar a cualquier punto del intervalo \ (x_0 \) \ (\ delta \), Es decir, para \ (x_0 \ en I \) , siempre que \ (| x-x_0 | <\ delta \) , hay \ (| f (x) -f (x_0) | <\ varepsilon \) . Si la función \ (f (x) \) puede hacer que esto suceda en el intervalo \ (I \) , es decir, la función \ (f (x) \) es uniformemente continua en el intervalo \ (I \) .
Definición
Deje que la función \ (f (x) \) se defina en el intervalo \ (I \) . Si para cualquier número positivo dado \ (\ varepsilon \) , siempre hay un número positivo \ (\ delta \) , de modo que para el intervalo Cualquiera de los dos puntos en \ (I \) \ (x_1, x_2 \) , cuando \ (| x_1-x_2 | <\ delta \) , hay $$ | f (x_1) -f (x_2) | <\ varepsilon , $$ se llama entonces la función \ (f (x) \) en el intervalo \ (I \) es consistente y continua.
La continuidad consistente significa que no importa en ninguna parte del intervalo \ (I \) , siempre que los dos valores de la variable independiente estén cerca de cierto grado, la función puede llevarse a la cercanía dada.
De la definición anterior se puede ver que si la función \ (f (x) \) es continuamente continua en el intervalo \ (I \) , entonces \ (f (x) \) también es continua en el intervalo \ (I \) . Pero a la inversa No necesariamente cierto.
Teorema 4 (Teorema de continuidad uniforme)
Si la función \ (f (x) \ ) es continua en el intervalo cerrado \ ([a, b] \) , entonces es continua en el intervalo modificado.