Hablando de tres crisis matemáticas: el último teorema de Fermat
A finales del siglo XIX y principios del siglo XX, con el rápido desarrollo de campos como la geometría no euclidiana y el análisis infinitesimal, la comunidad matemática se enfrentaba a desafíos sin precedentes. Este debate sobre la base de las matemáticas ha sido llamado la "crisis matemática". La crisis matemática se originó a partir de la revisión de los conceptos básicos y los sistemas axiomáticos de las matemáticas, que involucran muchos aspectos, como la teoría de conjuntos, la lógica y las cantidades infinitesimales. Las tres crisis matemáticas se refieren a tres problemas extremadamente difíciles en los siglos XIX y XX que afectaron profundamente el desarrollo de las matemáticas. Estos tres problemas son: la conjetura de Riemann (1826-1866), la conjetura de Poincaré (1854-1912) y el conocido último teorema de Fermat (1607-1995). Estas preguntas sorprenden a todos y desafían los límites de los matemáticos. A continuación, me centraré en introducir los problemas relacionados con el último teorema de Fermat.
El último teorema de Fermat es un problema matemático con una larga historia y mucha atención. En ese momento, el matemático francés Pierre de Fermat dejó una breve nota en su blog, afirmando haber encontrado una prueba que era muy elegante, pero que probablemente no cabía en los márgenes. Una nota tan breve es suficiente para dar lugar a nobles e infructuosas discusiones en el campo del álgebra.
El problema permaneció sin resolver hasta que el matemático británico Andrew Wiles encontró una prueba en 1995. La historia es famosa en todo el mundo por su magia. En la primera mitad del siglo XX, matemáticos de todo el mundo intentaron resolver el último teorema de Fermat, pero fracasaron. Cuando las computadoras se convirtieron en una parte integral de los cálculos matemáticos, la gente comenzó a usarlas para encontrar soluciones. Sin embargo, la prueba del último teorema de Fermat no se pudo encontrar a nivel técnico en ese momento. Ahora, Andrew Wiles representa a todos aquellos que han intentado resolver este problema y, mediante el uso de una serie de técnicas matemáticas avanzadas que incluyen su propio genio e inspiración, finalmente encontró la prueba.
El contenido del último teorema de Fermat es: cuando n es mayor que 2, no se puede satisfacer a^n + b^n = c^n. (donde a, b y c son todos enteros positivos)
El método de Wiles para probar el último teorema de Fermat se llama método de la "curva elíptica". La llamada curva elíptica es simplemente el punto (V, λ) cuando la curva proporcional (línea recta en el campo de números reales) es tangente a L×V0. Y el método de Wiles para probar su corrección se ha practicado con éxito, lo que también ha ganado un alto grado de reconocimiento en el campo.
Sin embargo, la forma de llegar a este nivel no es solo descubrir la prueba en sí, sino que involucra una ciencia integral que combina la investigación profunda de múltiples campos de las matemáticas y la tecnología informática inteligente. Wiles no fue solo un matemático, fue uno de los pioneros de la exploración y uno de los que lo siguieron.
Wiles comenzó a leer sobre el último teorema de Fermat cuando tenía 20 años. Piensa que resolver este problema se ha convertido en una carga insoportable en su vida. Estuvo a punto de darse por vencido con este rompecabezas, pero lo superó y reanudó su intento de demostrar el último teorema de Fermat. Eligió un enfoque de investigación, que consiste en descomponer problemas complejos en subproblemas que son más fáciles de estudiar y buscar pruebas en estos problemas y métodos relativamente simples. Al final, logró usar este nuevo tipo de investigación para permitir que las personas estudiaran problemas matemáticos más difíciles, demostrando la flexibilidad y el rigor de la inteligencia humana.
Demostró la conjetura de Fermat en una categoría de campo entero muy fuerte que no contiene puntos cero y la aplicó a la "curva elíptica en el sentido modular" para acelerar el proceso de prueba. La prueba de Wiles parte de la conclusión y resuelve el problema a través del análisis en profundidad de la cadena de subconjuntos de condiciones de juicio y el método de clasificación de tipos. El proceso de implementación específico también requiere tecnologías relacionadas en la rama de la geometría algebraica avanzada, como el método de perturbación de Frobenius y el grupo de Grothendieck-Teichmüller, etc.
La demostración de Andrew Wiles se basa principalmente en el método del álgebra categórica en el campo de la geometría algebraica y la teoría de las curvas elípticas, transformando el teorema de Fermat en un problema de isomorfismo, es decir, probar si existe un tipo especial de anillo. Específicamente:
Primero, Wiles definió un conjunto de "espacios Moduli" utilizando herramientas como grupos modulares y funciones elípticas, y transformó el teorema de Fermat en dos Un problema de simplificación estructural conocido como "esquema de elipse".
Luego, se da una condición de juicio definitiva a través de las técnicas pertinentes del álgebra categórica, que puede decirnos que alguna parte de esta familia de anillos no existe, y luego deducir el resultado del teorema de Fermat. Esta condición de juicio es el resultado de un análisis en profundidad de la clasificación de representaciones canónicas de grupos modulares y las "singularidades de tres puntos" producidas por algunas operaciones sobre grupos de Grothendieck-Teichmüller.
Luego, usó el "cambio de modelo" desarrollado en el campo de la geometría algebraica para completar el análisis en profundidad de la cadena de subconjuntos de condiciones de juicio y el recorrido de la clasificación tipada, y finalmente obtuvo la conclusión de recursividad infinita, demostrando que hay tales elementos representativos que son de hecho diferentes.
Si bien los esfuerzos de Wiles recibieron un honor de por vida, también demostraron la importancia de la tecnología moderna en la investigación científica. El mismo Fermat era un matemático muy talentoso, pero la información que creó el rompecabezas parece no haber sido revelada durante milenios, especialmente cuando llegó el momento de encontrar su solución. Por lo tanto, esta historia también demuestra la importancia de la colaboración entre múltiples campos.
La historia de la demostración del último teorema de Fermat de Andrew Wiles no solo ilustra la necesidad de un alto grado de especialización en el campo y lo que pueden lograr las computadoras modernas, sino que también muestra que el camino hacia el éxito está lejos de ser un esfuerzo de un solo hombre.
Al apreciar esta historia, podemos darnos cuenta del valor del trabajo arduo, el coraje para intentarlo, la exploración continua, la amistad entre dominios y el valor de avanzar con valentía para superar las dificultades.
Los avances tecnológicos han aportado mayor profundidad a nuestra comprensión. Aunque el teorema de Fermat ha sido propuesto desde el siglo XVII, el rápido desarrollo de tecnologías como las computadoras de alta velocidad, los gráficos por computadora y los modelos predictivos en los últimos años ha acelerado enormemente el campo de las matemáticas y promovido la frontera y la investigación académica profunda en el contexto de los grandes datos.
En definitiva, el proceso de demostración del teorema de Fermat nos hace comprender lo difícil y admirable que es perseverar en la exploración y solución de problemas difíciles. Al mismo tiempo, también nos educa para ser buenos en el pensamiento innovador y cruzar los límites del conocimiento para resolver problemas complejos en múltiples campos.