Expansión de Taylor
F ( X ) = F ( X 0 ) + F ′ ( X 0 ) ( X − X 0 ) + F ′ ′ ( X 0 ) 2 ! ( X − X 0 ) 2 + . . . + F ( norte ) ( X 0 ) norte ! ( X - X 0 ) norte + F ( norte + 1 ) ( X 0 + θ ( X - X 0 ) ) ( norte + 1 ) ! ( X - X 0 ) norte + 1 ( 0 < θ < 1 ) Significado: el polinomio de n grados se puede usar para aproximar la función de expresión f(x), y el error es cuando x → x 0 es mayor que ( x − x 0 ) n infinitesimal de orden superior \begin{array} {l} \\ f( x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\\ \\ +{\frac{f''(x_0)}{2!}}{(x- x_0)^2}+. ..\\ \\ +{\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}}{(x-x_0)^n}\\ \\ +{\ frac{f^{(n +1)}(x_0+\theta(x-x_0))}{(n+1)!}}{(x-x_0)^{n+1}} (0<\theta< 1)\\ \end{ array}\\ {\text{Significado: el polinomio de n grados se puede usar para aproximar la función de expresión f(x), y el error es cuando }}x\rightarrow x_0 {\text{ se compara con}}(x-x_0)^n{\ text{infinitesimal de orden superior}}f ( x )=f ( x0)+F′ (X0) ( X−X0)+2 !F′′ (X0)( X−X0)2+...+n !F( norte ) (x0)( X−X0)norte+( n + 1 )!F( norte + 1 ) (x0+ θ ( x − x0) )( X−X0)n + 1 (0<i<1 )Importancia: el polinomio de n grados se puede usar para aproximar la función de expresión f(x), y el error es cuando x→X0 relación de tiempo (x−X0)n infinitesimal de orden superior
Algunas expansiones de Taylor de uso común:
senx = x − 1 3 ! x 3 + 1 5 ! X 5 + ⋯ + ( - 1 ) norte 2 norte + 1 ( 2 norte + 1 ) ! = ∑ norte = 0 ∞ ( - 1 ) norte 2 norte + 1 ( 2 norte + 1 ) ! cosx = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! X 4 + ⋯ + ( - 1 ) norte 2 norte ( 2 norte ) ! = ∑ norte = 0 ∞ ( - 1 ) norte 2 norte ( 2 norte ) ! arcsenx = x + 1 3 ! x 3 + o ( x 3 ) tanx = x + 1 3 x 3 + o ( x 3 ) arctanx = x − 1 3 x 3 + o ( x 3 ) ln ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 X 3 - ⋯ + ( - 1 ) norte - 1 xnn = ∑ norte = 1 ∞ ( - 1 ) norte - 1 xnn ( - 1 < X ≤ 1 ) ex = 1 + X 1 ! + x 2 2 ! + x 3 3 ! + ⋯ + xnn! = ∑ norte = 0 ∞ xnn ! ( 1 + x ) un = 1 + un 1 ! X + un ( un - 1 ) 2 ! X 2 + un ( un - 1 ) ( un - 2 ) 3 ! x 3 + o ( x 3 ) 1 1 − x = 1 + x + x 2 + x 3 + ⋯ + xn = ∑ norte = 0 ∞ xn ( − 1 < x < 1 ) 1 1 + x = 1 − x + X 2 - X 3 + ⋯ + ( - 1 ) nxn = ∑ norte = 0 ∞ ( - 1 ) nxn ( - 1 < X < 1 ) hacha = eln ( hacha ) = mi ( xlna ) = ∑ ( xlna ) nn ! ax − 1 = xlna senx = x - {\frac{1}{3!}}x^3+{\frac{1}{5!}}x^5+\dots+(-1)^n\frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+ 1)!}\\ cosx = 1 - {\frac{1}{2!}}x^2+{\frac{1}{4!}}x^4+\dots+(-1)^n\frac {x^{2n}}{(2n)!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ arcsenx = x + {\frac{1}{3!}}x^3+o(x^3)\\ tanx = x + {\frac{1}{3}}x^3+o(x^3) \\ arctanx = x - {\frac{1}{3}}x^3+o(x^3)\\ ln(1+x) = x-{\frac{1}{2}}x^2 +{\frac{1}{3}}x^3-\dots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} \ \ \ \ (-1<x\le 1)\\ e^x = 1+{\frac{x}{1! }}+{\frac{x^2}{2!}}+{\frac{x^3}{3!s en x=X−3 !1X3+5 !1X5+⋯+( -1 ) _norte( 2 norte+1 )!X2 norte + 1=norte = 0∑∞( -1 ) _norte( 2 norte+1 )!X2 norte + 1porque x=1−2 !1X2+4 !1X4+⋯+( -1 ) _norte( 2n ) !X2 norte=norte = 0∑∞( -1 ) _norte( 2n ) !X2 norteun rcs en x=X+3 !1X3+o ( x3 )seguro _ _=X+31X3+o ( x3 )a rc t an x=X−31X3+o ( x3 )n ( 1 _+x )=X−21X2+31X3−⋯+( -1 ) _norte - 1norteXn=norte = 1∑∞( -1 ) _norte - 1norteXn ( -1 _<X≤1 )miX=1+1 !x+2 !X2+3 !X3+⋯+n !Xn=norte = 0∑∞n !Xn( 1+x )a=1+1 !unX+2 !un ( un−1 )X2+3 !un ( un−1 ) ( un−2 )X3+o ( x3 )1−X1=1+X+X2+X3+⋯+Xnorte=norte = 0∑∞Xnorte (-1_ <X<1 )1+X1=1−X+X2−X3+⋯+( -1 ) _n xnorte=norte = 0∑∞( -1 ) _n xnorte (-1_ <X<1 )aX=mien ( un _x )=mi( x l no )=∑n !( x l no )naX−1=xl no _
infinitesimal equivalente
lnx = ln ( 1 + x − 1 ) ∼ x − 1 lnu ∼ tu − 1 , ( tu → 0 ) lnx=ln(1+x-1) \sim x-1\\ lnu\sim u-1,( u\a 0)l n x=n ( 1 _+X−1 )∼X−1yo y tu∼tu−1 ,( tu→0 )
高等数学中的
β=O(α)表示β是α的同阶无穷小
β=o(α)表示β是α的高阶无穷小