Resumen de tipos de preguntas de matemáticas avanzadas

1. Funciones, Límites y Continuidad

(1) Determinación de la acotación, monotonicidad, periodicidad e impar-par de funciones

1. Monotonicidad

2. Paridad

Funciones impares comunes $sinx，tanx，arcsinx，arctanx，ln\frac{1-}{1+x}，lnorte(x+\sqrt{1+X^2})，\frac{{mi}^x-}{{mi}^x+1}，f\left(x\right)-f(-x)\_$

Funciones pares comunes $X^2，|x|,cosx，f\left(x\right)+f(-x)\_$

3. Periodicidad

! $Sif\left(x\right)tieneperíodoT,entoncesf(ax\_+segundo)con\frac{}{|un|}parael\; periodo$

4. Limitación

$|senx|\_\_\le 1，|cosx|\le 1，|arcsyonx|\le \frac{}{2}，|arccosx|\le Pi$

Suplemento: funciones comunes
1） $y=\mathrm{arctán}x$

2）$y=\mathrm{arcosin}x$

3） $y=\arccos x$

4) Función de signo:
y = sgnx= { − 1 , x < 0 0 , x = 0 1 , x > 0 \begin{cases} -1, x<0\\ 0, x=0\\ 1, x >0\\ \end{casos}⎩⎪⎨⎪⎧− 1 ，x<00 , x=01 x _>0
5) Función de redondeo: $y=\left[x\right]$
$X-1<\left[x\right]\le X$

(2) función compuesta

La capitalización sólo es posible cuando la intersección del dominio de la función externa y el dominio de valor de la función interna no está vacía.

(3) El concepto y la naturaleza del límite

1. El concepto de límites

1) límite de secuencia

$\forall ϵ>0，\exists norte>0,cuandon>CuandoN,siemprehay|x_{}-un|<ϵ,entonces\; se\; llama\underset{x\to \infty }{}{X}_{}=a$

！$b<a,\exists N,esten>Cuandonorte,x_{}>b$
！$C>a,\exists N,esten>Cuandonorte,x_{}<c$
! $¡\; El\; límitedellímitede\; secuencia\{x\}\; notienenada\; que\; vercon\; eltérminofinitoanterior$
! $Límiteglobal\exists \Rightarrow Límiteparcial\exists$
!$\_$$Todoslos\; límitesparciales\exists \Rightarrow Límiteglobal\exists$

2) Límite de función

(1) Cuando la variable independiente tiende a infinito:

${\mathrm{Lim}}_{x\to +}$

$\forall ϵ>0，\exists X>0,cuandox>CuandoX,siemprehay|f\left(x\right)\_-Un|<ϵ,entonces\; se\; llama\underset{x\to +\infty }{}f(x)=a$

${\mathrm{Lim}}_{x\to -}$

$\forall ϵ>0，\exists X>0,cuandox<Cuando-X,siemprehay|f(x)-Un|<ϵ,entonces\; se\; llama\underset{x\to -\infty }{}f\left(x\right)=a$

${\mathrm{Lim}}_{x\to }$

$\forall ϵ>0，\exists X>0,cuando|x|>CuandoX,siemprehay|f\left(x\right)\_-Un|<ϵ,entonces\; se\; llama\underset{x\to \infty }{}f(x)=a$

(2) La variable independiente tiende a un valor finito:

$\forall ϵ>0，\exists \delta \_>0,cuando0<|x\_-X_{}|>Cuando\delta ,siemprehay|f\left(x\right)-Un|<ϵ,entonces\; se\; llama\underset{x\to \infty }{}f(x)=A$

! $X\to X_{},peroxq\ne X_{}【es\; decir\underset{x\to \infty }{}f\left(x\right)no\; tiene\; nada\; que\; verconsif\left(x\right)existe]$

2. Naturaleza de los límites

1) Propiedades generales

(1) Limitación

Convergencia $\to$ Hay un límite, pero no al revés

(2) Protección de números

(3) Relación con lo infinitesimal

$\mathrm{Lim}f\left(x\right)=A\leftrightarrow f\left(x\right)=A+\alpha \left(x\right),\left[donde\mathrm{Lim}un\right(x)=0】$

2) Criterios de existencia

(1) Criterio de sujeción

(2) Criterio acotado monótono

3. Algoritmo extremo

(1) Reglas de operación racional

limf (x) = A, limg (x) = B limf(x) = A,limg(x) = B$limf\left(x\right)=A,limg\left(x\right)=B$ , entonces

• $lim\left(f\right(x)\pm gramo(x\left)\right)=limf\left(x\right)\pm g\left(x\right)$
• $lim\left(f\right(x)\times gramo(x\left)\right)=f\left(x\right)\times g\left(x\right)$
• $yosoy\_\frac{f(x}{g\left(x\right)}=\frac{limf(x}{limg\left(x\right)}，(B\ne 0)$

(2) Atención

• existe $\pm$ no existe$=$ no existe
• No existe $\pm$ no existe$=$ no necesariamente
• existe $\times ÷$ no existe$=$ no necesariamente
• No existe $\times ÷$ no existe$=$ no necesariamente

(3) Conclusiones comunes

• $limf\left(x\right)=A\ne 0\to limf\left(x\right)g\left(x\right)=Alimg\left(x\right)$
  significa:el límite del factor distinto de cero se puede encontrar primero

• $yosoy\_\frac{f(x}{g\left(x\right)}$Existencia, $limg\left(x\right)=0\to limf\left(x\right)=0$

• $yosoy\_\frac{f(x}{g\left(x\right)}=A$，$limf\left(x\right)=0\to limg\left(x\right)=0$

4. Pequeño sin taza

1) Orden infinitesimal: orden superior, orden k, mismo orden, equivalente
2) Propiedades infinitesimales

• La suma/producto de un número finito de infinitesimales sigue siendo infinitesimal
• El producto de una cantidad infinitesimal y una cantidad acotada sigue siendo infinitesimal

5. Mugendai

1) Comparaciones comunes de infinito:

A x $\to +\infty$时，$l{norte}^{\alpha x}\_\ll X^b\ll a^X$

Tonelada $\to \infty$时,$l{norte}^{\alpha }sustantivo\ll {norte}^b\ll a^{norte}\ll norte!\ll {norte}^{norte}$

2) Propiedades del infinito:

• El producto de dos infinitos sigue siendo infinito.
• La suma de infinito y variables acotadas sigue siendo una cantidad infinita

3) La relación entre infinito y variables ilimitadas:

• cantidad infinita $\to$ Variable ilimitada, pero no al revés [$(-1)\_{}^{norte}$】

4) La relación entre infinito e infinitesimal:

• $f\left(x\right)$ es infinitesimal y$f\left(x\right)\ne 0$ , entonces$\frac{}{f\left(x\right)}$es $\infty$
  ! Si$f\left(x\right)\ne 0$ , entonces$\frac{}{f\left(x\right)}$sin sentido

(4) Límites izquierdo y derecho

1. El límite de la función por partes en el punto de división.
2. ${mi}^{\infty }$ límite de tipo
3. $arctan\infty$ tipo límite

(5) Encuentra el límite

1. Encuentra el límite de la suma\producto de n términos

1) Encuentre primero la fórmula de la suma, luego encuentre el límite
2) Teorema de pellizco: la suma de n elementos falla y el grado del numerador y el denominador no es igual
3) Definición integral definida: el grado del numerador y el denominador son ambos iguales y el denominador es uno más que el grado del numerador.

2. Encontrar límites indefinidamente

(1) $\frac{}{0}$

$\frac{}{0}$: { Equivalente a la ley de L'Hôpital infinitesimal: 0 0 o ∞ ∞ Fórmula de Taylor\begin{cases} Equivalente a la ley de L'Hôpital infinitesimal: \frac{0}{0} o \frac{\infty}{\infty }\\ Fórmula de Taylor\\ \end{casos}⎩⎪⎨⎪⎧Equivalente a infinitesimalLey de Lópida : _00o∞∞fórmula de taylor

Suplemento: Equivalente a infinitesimal

• $sinx，tanx，arcsinx，arctanx，ln(1+x)，{mi}^X-1\sim X$
• $\frac{a^x-}{X}\sim lna\_$
• $(1+x{)}^a-1\sim \alpha x\_$
• $(1+un(x{)}^{b\left(x\right)})-1\sim un(x\left)b\right(x)（un(x)\to 0，\alpha (x\left)\beta \right(x)\to 0）$
• $1-cosx\_\_\sim \frac{}{2}{X}^2$
• $X-lnorte(1+x)\sim \frac{}{2}{X}^2$
• $X-pecado\_\_\_\sim \frac{}{6}{X}^3$
• $arcosinx\_\_-X\sim \frac{}{6}{X}^3$
• $tanx\_\_-X\sim \frac{}{3}{X}^3$
• $X-arctanx\sim \frac{}{3}{X}^3$

Suplemento: Fórmula de reemplazo

• $tu(x{)}^{v\left(x\right)}\to {mi}^{v\left(x\right)lnorteu\left(x\right)}$
• $lnorte\left(\dots \dots \right)\to lnorte(1+△)\sim △$
• $\left(\dots \dots \right)-1\to \{\begin{array}{l}{mi}^{△}-1\sim △\\ (1+△{)}^a-1\sim un\end{array}$

（2）$\frac{}{\infty }$

$\frac{}{\infty }$: { 0 0 Ley de Lópida: 0 0 o ∞ ∞ lim ⁡ x → + ∞ amxm + … … + a 1 x + a 0 bnxn + … … + b 1 x + b 0 = { 0 , m < n ∞ , m > nambn , m = n \begin{cases} \frac{0}{0}\\ Regla de Lópida: \frac{0}{0} o \frac{\infty}{\infty}\\ \ displaystyle\lim_{ x\to+\infty}\frac{a_mx^m+…+a_1x+a_0}{b_nx^n+…+b_1x+b_0}=\begin{casos} 0, m<n\\ \infty, m>n\\ \ frac{a_m}{b_n}，m=n\\ \end{casos} \end{casos}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧00Ley de Lópida : _00o∞∞x → + ∞límbnorteXnorte+……+b1X+b0amXmetro+……+a1X+a0​=⎩⎪⎨⎪⎧0 , metro<norte∞ ，metro>nortebnorteam​，metro=norte​

Suplemento: infinito

• A x $\to +\infty$时，$l{norte}^{\alpha x}\_\ll X^b\ll a^X$

• Tonelada $\to \infty$时,$l{norte}^{\alpha }sustantivo\ll {norte}^b\ll a^{norte}\ll norte!\ll {norte}^{norte}$

• cantidad infinita $\to$ Variable ilimitada, pero no al revés [$(-1)\_{}^{norte}$】

(3) $1^{\infty }$

$1^{\infty }$ : Deformación de la identidad,$(1+△{)}^{\frac{}{△}}\sim mi$

(4) ${\infty }^0$、$0^{\infty }$

$\{\begin{array}{l}{\infty }^0\\ 0^{}\end{array}\to tu(x{)}^{v\left(x\right)}\to {mi}^{v\left(x\right)lnorteu\left(x\right)}$

(5) $0\times \infty$

$0\times \infty$：{ 0 1 ∞ → 0 0 ∞ 1 0 → ∞ ∞ \begin{cases} \frac{0}{\frac{1}{\infty}}\to\frac{0}{0}\\ \\ \frac{\infty}{\frac{1}{0}}\to\frac{\infty}{\infty}\\ \end{casos}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∞10→0001∞→∞∞​

（6）$\infty -\infty$

$\infty -\infty ：\to 0\times \infty$ Igual que arriba

Suplemento: Principio de sustitución

• Este valor es un punto continuo en el intervalo de la función [ $\underset{x\to x_{}}{}f\left(x\right)=f\left(x_{}\right)$】
• Límite de factor parcial $\exists$即可拆分【$\exists \underset{x\to x_{}}{}f\left(x\right)=Un，\underset{x\to x_{}}{}\left[f\right(x)\pm g(x\left)\right]=A+\underset{x\to x_{}}{}g\left(x\right)$ (en preguntas que involucran números desconocidos, el límite debe eliminarse primero$\exists$）
• Las relaciones de suma y resta se pueden intercambiar bajo ciertas condiciones
  [ $a\sim a_{},segundo\sim b_{},y\{\begin{array}{l}\mathrm{Lim}=\frac{a_{}}{b_{}}=A\ne 1,Entonces\alpha -b\sim a_{}-b_{}\\ \mathrm{Lim}=\frac{a_{}}{b_{}}=A\ne -1,Entonces\alpha +b\sim a_{}+b_{}\end{array}$】

3. Teorema del valor medio

(6) Juicio de continuidad y propiedades de funciones continuas.

1. Determinar la continuidad

1) Definición

设$y=f\left(x\right)$ en el punto$X_{}$Hay una definición en una determinada vecindad descentrada, entonces { lim ⁡ △ x → 0 △ y = lim ⁡ △ x → 0 [ f ( x 0 + △ x ) − f ( x 0 ) ] lim ⁡ △ x → 0 f ( x ) = f ( x 0 ) \begin{casos} \displaystyle\lim_{\triangle x\to 0}\triangle y = \displaystyle\lim_{\triangle x\to 0}[f(x_0+\triangle x) -f (x_0)]\\ \displaystyle\lim_{\triangle x\to 0}f(x) = f(x_0)\\ \end{cases}⎩⎨⎧△ x → 0lím△ y=△ x → 0lím[ f ( x0+△ x )−f ( x0) ]△ x → 0límf ( x )=f ( x0)

2) teorema

① $f\left(x\right)yg\left(x\right)$ están en el punto$X_{}$son continuas, entonces $f\left(x\right)\pm g\left(x\right)，f\left(x\right)g\left(x\right)，\frac{f(x}{g\left(x\right)}\left(g\right(x)\ne 0)$ es continua en el punto

②Supongamos que la función $tu=\varphi \left(x\right)$ en el punto$X_{}$es continua en , $\varphi \left(x_{}\right)={tu}_{}$， función $y=f\left(u\right)$ punto${tu}_{}$es continua en , entonces $y=f\left[\varphi \right(x\left)\right]$ en$X=X_{}$Continuo en todas partes

③Las funciones elementales básicas son continuas dentro de su dominio.

④Las funciones elementales son continuas dentro de su intervalo de definición

2. Propiedades de funciones continuas

设$f\left(x\right)\in C[a,segundo]$

1）（m，M）$f\left(x\right)$ tiene min en [a,b], MAX
2)(acotado) $\exists k>0,de\; modo\; que|f(x)|\le k$
3)(punto cero) $Yf\left(a\right)f\left(b\right)<0，\exists c\_\in [un,b],de\; modo\; quef\left(c\right)=0$
4)(valor intermedio) $\forall \eta \in [metro,M],entonces\exists \xi \in [un,b],de\; modo\; quef\left(\xi \right)=el$

(7) Tipos de discontinuidades

Categoría 1: $f(un-0)=f(un+0)$ todos tienen valores

$\{\begin{array}{l}Puedeeliminardiscontinuidades:f(a\_-0)=f(un+0)\ne f\left(a\right)\\ Puntode\; discontinuidadde\; salto:f(a-0)\ne f(un+0\end{array}$

La segunda categoría: $f(un-0)、f(un+0)$ Al menos uno no existe

Antes de juzgar el punto de discontinuidad (es decir, antes de encontrar el límite), defórmelo si puede y no se apresure a sustituirlo.