El teorema de Peishu, también conocido como el teorema de Beizu, es un teorema descubierto y probado por el antiguo matemático chino Pei Shu (alrededor del siglo III dC) en el "Sunzi Suanjing".
El teorema de Pei Shu se refiere al máximo común divisor d de dos números enteros a y b, que se puede escribir como el número entero positivo más pequeño de cualquier número entero ax + by (a, b, x e y son todos números enteros) de la siguiente forma: donde x e y son enteros desconocidos. Este teorema se usa ampliamente en criptografía, procesamiento de señales digitales y otros campos.
El método de demostración del teorema de Pei Shu se puede realizar mediante el método de demostración por contradicción. Supongamos que ax+by=c tiene un conjunto de soluciones enteras positivas c, donde c no es un múltiplo del máximo común divisor d de a y b. Por lo tanto, existe otro entero positivo d'=mcd(c,d), y d' no se puede dividir entre d. Defina e=c/d' y exprese c como d'e, entonces:
d' = ax' + by'
d = ax'' + by''
Entonces, podemos deducir:
e = cx''/dd' + cy''/dd' = (ae+b)/d'x'' + (be+a)/d'y''
De acuerdo con esta ecuación, se puede ver que tanto ae como be son múltiplos de d', y su suma también es múltiplo de d'. Sin embargo, dado que d' y d no tienen factores comunes, ae y be solo tienen múltiplos de d (lo mismo ocurre con ax y by). Así, llegamos a una contradicción: e debe ser un múltiplo de d, pero dado que puede expresarse como una suma de diferentes partes únicas, debe ser un múltiplo común de d y d'. Esto es inconsistente con nuestra suposición inicial, por lo que ax+by=d tiene la solución entera positiva más pequeña entre todos los enteros positivos x e y, que es el teorema de Pei Shu.
Además, el algoritmo euclidiano extendido proporciona un método para resolver el teorema de Pei Shu, que consiste en encontrar cualquier coeficiente x e y en forma de ax + by = d a través del algoritmo euclidiano inverso.
1. 如果b=0，则令d=a，x=1，y=0，并返回(d,x,y)
2. 否则，递归调用函数来计算gcd(b, a mod b)，并设得到的结果为(d', x', y')。
3. 根据贝祖等式可以得到以下结果：
d = d'
x = y'
y = x' - (a / b) * y'
4. 返回(d, x, y)
Cabe señalar que, en teoría, este algoritmo solo puede resolver el caso en que a y b son primos entre sí, pero en la práctica, también podemos evitar problemas al garantizar que la suma de los valores absolutos de x e y sea la más pequeña durante el proceso de calculo