CodeForces - 1312D Count the Arrays(组合数学)

题目链接：点击查看

题目大意：给出一个 n 和 m ，求满足条件的数组有多少个

1. 数组包含 n 个元素
2. 每个元素的取值为 1 ~ m
3. 包含且仅包含一对相同的元素
4. 存在一个位置 pos ，使得 [ 1 , pos ] 内严格递增，[ pos , n ] 内严格递减

题目分析：读完题后不难看出是一道排列组合的题目，本着先选数，再排序的原则，我们一步步分析

首先我们需要选出 n 个元素才能构成一个数组，因为需要有一对相同的元素，因此这里我们暂时只需要选出 n - 1 个元素就足够了，共 C( m , n - 1 ) 种情况，因为题目中需要保证在 pos 位置的两侧严格递增或递减，那么说明最大值是唯一的，此时在已经选出的 n - 1 个元素中，减去一个最大值，还剩 n - 2 个元素可以重复一遍，满足题目中的第三个条件，到这一步为止，我们已经处理完了选数的问题，也就是 C( m , n - 1 ) * ( n - 2 ) 种选取方案

接下来需要分析顺序问题，相对于选数问题来说，顺序可能稍微有一丢丢难度，不过一步一步来还是问题不大的，首先我们现在已经选出了 n 个满足前三个条件的元素了，因为满足严格递增和严格递减的限制，所以重复的那个数，以及最大值，这三个数的相对位置都是固定不变的，一定满足最大值位于最中间，而重复的两个值分别位于两侧，其他的 n - 3 个数可能会如何分布呢，无非是在最大值的左侧或右侧两种情况，我们可以发现，如果这 n - 3 个数在左侧或右侧的情况固定下来之后，因为题目中第四个条件的限制，数组的顺序也随之固定下来了，且是唯一的，这样关于顺序的方案数也就呼之欲出了：pow( 2 , n - 3 )

其实看题解的话这个题目的难度并不是很大，我感觉难就难在，考虑顺序的时候，可能会陷入如何分配最大值的位置的陷阱中去，也就是从绝对位置的方向出发，从而越走越偏，其实不然，因为如果考虑绝对位置的话会使题目复杂化，所以我们不妨从相对位置下手，会起到事半功倍的效果

实现代码的话也没什么难度，需要用到的数论知识就是关于逆元的求法了，因为组合数涉及到了取模以及除法，而给出的模数是一个质数，所以直接费马小定理求逆元然后乱搞就好了

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<unordered_map>
using namespace std;
       
typedef long long LL;
      
typedef unsigned long long ull;
       
const int inf=0x3f3f3f3f;
  
const int N=110;

const int mod=998244353;

LL q_pow(LL a,LL b)
{
	if(b<0)
		return 0;
	LL ans=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}

LL C(int n,int m)
{
	LL ans1=1;//分子 
	LL ans2=1;//分母 
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		ans1=ans1*(n-i)%mod;
		ans2=ans2*(i+1)%mod;
	}
	ans2=q_pow(ans2,mod-2);
	return ans1*ans2%mod;
}
//C(m,n-1)*(n-2)*pow(2,n-3);
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//  freopen("input.txt","r",stdin);
//  freopen("output.txt","w",stdout);
#endif
//  ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	printf("%lld\n",C(m,n-1)*(n-2)%mod*q_pow(2,n-3)%mod);














    return 0;
}