题目大意:
已知区间长度为n,现在按照规定,我们从[1,m]中选择一部分数字放入这个区间。
规定:必须有一个数字是重复的。
存在下标i,使得下标小于i的数字递增,下标大于i的数字递减,问我们总共有多少种不同的方法来放这些数字。
n,m<=1e5.
解题思路:
首先,我们可以想到 从中选出n-1个数字,然后我们可以让其中一部分的数字重复,但是最大值不能够重复,否则破坏了约束。接着我们可能想满足递增递减约束,但是却下不来手,但是我们换一个角度来考虑,假设中间最大值放好了,重复数字放好了,剩下的n-3个数字是不是既可以放左边又可以放右边呢。所以还有pow(2,n-3)种可能。
所以答案是:
还有两个细节,分别是n=2还有n-1>m时我们需要输出0.
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int MAXN=2e5+10;
const int MODN=998244353;
int quick_pow(int a,int b){
int ret=1;
while(b){
if(b&1)ret*=a;
ret%=MODN;
a*=a;
a%=MODN;
b>>=1;
}
return ret;
}
int32_t main(){
int n,m;cin>>n>>m;
if(n-1>m || n==2)cout<<0<<endl;
else{
vector<int> fact(MAXN,1);
for(int i=1;i<MAXN;i++){
fact[i]=fact[i-1]*i;
fact[i]%=MODN;
}
// cerr<<fact[n-1]<<endl;
int comb=fact[m]*quick_pow((fact[n-1]*fact[m-(n-1)])%MODN,MODN-2);
// cerr<<comb<<endl;
comb%=MODN;
comb*=(n-2);
comb%=MODN;
comb*=quick_pow(2,n-3);
comb%=MODN;
cout<<comb<<endl;
}
return 0;
}