Codeforces 1312D. Count the Arrays
题意：
计算满足如下要求的序列的数量。
- 1：序列长度为\(n\)。
- 2：序列中的元素为1~m。
- 3：序列中有且仅有一对数字相等。
- 4：序列有一个分界点，分界点左边的数字严格单调递增，右边的数字严格单调递减。
数据范围：\(2\leq n\leq m\leq 2e5\)。
对结果取\(mod\ 998244353\)。
思路：
首先特判，就是当\(n=2\)时，没有满足条件的序列，输出0。
来看一般情况，为了方便理解，我们画一张图。
这是一个满足条件的序列，满足图像成山峰型，且仅一对数字相等。
我们可以发现，除了4相等之外，其他数字都是不同的。
所以我们可以转化一下。
将其视为一个数字两两不同的递增序列，那满足这样条件的序列有多少种？
我们可以直接从\(m\)个数字中选\(n-1\)个出来，一定可以组成这样一个递增序列，所以答案是：
\[ C_{m}^{n-1} \]
但是还有许多情况漏解，比如说我原序列有两个\(1\)，得到的递增序列也是如上图所示。
那么我们就会发现，除了最大的数字之外，所有的数字都可以裂化为两个放到最大数字的右边，所以此时我们要对答案乘上\(n-2\)。如图所示：
上图表示我们把一个5送到右边去。\(1,2,4,5,6\)都可以送到右边去。
此时还是会漏解，我们尝试把除了\(5\)之外的左边的数字移动到右边，那么有多少种方案？
首先在这\(n-2\)个数字当中，5不能右移过去，那也就是剩下\(n-3\)个数字，那么此时枚举往右放多少个数字，放\(0,1,2,3,...,n-3\)都是可以的，所以我们要对答案乘上：
\[ C_{n-3}^0+C_{n-3}^1+C_{n-3}^2+...+C_{n-3}^{n-3}=2^{n-3} \]
综上所述，答案为：
\[ C_m^{n-1}\times (n-2)\times 2^{n-3} \]
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