CodeForces 1312D.Count the Arrays(组合数学)

题意:你的任务是计算满足如下性质的数组的数量
1.每个数组包含n个元素
2.每个元素的范围是\([1, m]\)
3.对于每个数组，有一对相同的元素
4.对于每个数组，存在着一个下标i，使得左边的元素严格递增，右边的元素严格递减

分析:每个数组包含n个元素，并且有一对相同，意味着有n - 1个不同的数，每个元素的范围是[1, m]，对于第一个元素有m种选法，第二个元素有m - 1种选法，第三个元素有m - 2种选法\(\dots\)再除以内部的顺序，总共有\(C_{m}^{n - 1}\)种选法。然后最大的元素在峰顶，剩下有(n - 2)个元素，其中两个是重复的元素，它们分别在峰的左右两端(因为每一侧都是严格的)，然后可以从(n - 2)个元素中选取一个作为重复的元素放在左右两侧，有\((n - 2)\)种选法。剩下的元素可以考虑在左边或者右边，然后有\(2^{n - 3}\)种选法。总的选法是\(C_{m}^{n - 1} * 2^{n - 3} * (n - 2)\)。

做法:求组合数取模可以使用乘法逆元或者卢卡斯定理，然后\(2^{n - 3}\)可以使用快速幂。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
using LL = long long;
const int N = 400005;
const int mod = 998244353;
int n, m;
int fact[N], infact[N];

int qmi(int a, int k, int p)
{
	int res = 1;
	while (k)
	{
		if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
		a = (LL)a * a % p;
		k >>= 1;
	}
	return res;
}

int C(int a, int b)
{
	return (LL)fact[a] * infact[a - b] % mod * infact[b] % mod;
}

int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);

	fact[0] = infact[0] = 1;

	for (int i = 1; i < N; ++i)
	{
		fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
		infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
	}

	//特判
	if (n == 2)
	{
		printf("%d\n", 0);
		return 0;
	}

	int res = (LL)C(m, n - 1) * (n - 2) % mod;

	int p = qmi(2, n - 3, mod) % mod;

	printf("%d\n", (LL)res * p % mod);

	return 0;
}