组合数学 - Count the Arrays

题目链接: https://codeforces.com/problemset/problem/1312/D

题意:

计算数组的数量使得:

每个数组包含 n 个元素

每个元素都是 1 到 m 的整数

每个数组恰好有一对相等的元素

每个数组 a 都存在一个索引 i , 使得该数组在第 i 个元素之前严格升序并在它之后严格降序

思路: 由题意可知, 数组的长度为 n, 且有一个最大元素, 也有一对恰好相等的元素. 先不考虑这一对相等的元素, 考虑剩下的 n - 1 个元素, 我们需要选出 n - 1 个元素, 此时的方案数为$C_m^{n-1}$ .

其中最大的数显然是索引 i , 那么这一对相等的数将从剩下的 n - 2 个元素中选一个作为相等元素的数, 此时的方案数为$n-2$ , 最后就是决定一个数在最大数的左边还是右边, 因为每个数(除了那一对相等元素) 都是不同的, 那么不论他们在左边还是右边都可以形成严格升序和降序, 所以贡献的方案数为$2^{n-3}$, 最后答案相乘即可: $C_m^{n-1}\ast 2^{n-3}\ast (n-2)$

AC代码

public class Main {
    
    
    public static final int M = 200005;
    public static int mod = 998244353;
    public static long[] invFact = new long[M];
    public static long[] fact = new long[M];

    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n, m;
        n = in.nextInt();
        m = in.nextInt();
        getInvArray();
        long ans = 1L;
        ans *= fact[m] % mod * invFact[n - 1] % mod * invFact[m - n + 1] % mod;
        ans %= mod;
        ans *= ksm(2L, (n - 3) * 1L);
        ans %= mod;
        ans *= (n - 2);
        ans %= mod;
        System.out.println(ans);
        in.close();
    }

    public static Long ksm(Long n, Long m) {
    
    
        Long ans = 1L;
        while(m > 0) {
    
    
            if((m & 1) == 1) {
    
    
                ans *= n;
                ans %= mod;
            }
            n = n * n % mod;
            n %= mod;
            m >>= 1;
        }
        return ans % mod;
    }

    public static Long getInv(Long x) {
    
    
        return ksm(x, (mod - 2) * 1L);
    }

    public static void getInvArray() {
    
    
        fact[0] = 1L;
        invFact[1] = invFact[0] = 1L;
        for(int i = 1; i < M; i++) {
    
    
            fact[i] = i * fact[i - 1] % mod;
        }
        for(int i = 2; i < M; i++) {
    
    
            invFact[i] = invFact[i - 1] * getInv(i * 1L) % mod; // 阶乘逆元
        }
    }
}