一、什么是回归算法

回归算法是一种有监督算法

回归算法是一种比较常用的机器学习算法，用来建立“解释”变量(自变量X)和观测值(因变量Y)之间的关系；从机器学习的角度来讲，用于构建一个算法模型(函数)来做属性(X)与标签(Y)之间的映射关系，在算法的学习过程中，试图寻找一个函数使得参数之间的关系拟合性最好

回归算法中算法(函数)的最终结果是一个连续的数据值，输入值(属性值)是一个d维度的属性/数值向量

1.1 初识回归

有一个问题：现在拥有一组房屋面积及其对应房价的数据如下，如果有一个房屋面积为55平，请问最终的租赁价格是多少比较合适?

房屋面积	租赁价格
10	0.8
20	1.8
30	2.2
30	2.5
70	5.5
70	5.2
…	…

我们可以构建一个函数 $h(x)=\theta ^{0}+\theta ^{1}x$ ，其中h(x) 为房价，x为房屋面积，根据大量的数据求出 $\theta ^{0}$ 和 $\theta ^{1}$ 的值，于是能够构建出一条直线。

如果此时将测试集中的数据投入到模型中，如果模型构建的比较好，可以看到测试集中所有(面积，价格)的点会均匀分布在直线的上下两侧，而且离的直线距离不会太远 (说明方差较小) 。如果测试集中的数据大量分布在直线的上方，或离直线的距离普遍较远，那么说明模型质量不高，需要重新训练。

如果在面积的基础上，增加房间数量这一变量呢

房屋面积	房间数量	租赁价格
10	1	0.8
20	1	1.8
30	1	2.2
30	2	2.5
70	3	5.5
70	2	5.2
…	…	…

构造函数 $h \left (x \right )=\theta_{0}+\theta_{1}x_{1}+\theta_{2}x_{2}$ ，其中h(x) 为房价，根据大量的数据求出 $\theta ^{0}$ 、 $\theta ^{1}$ 、 $\theta ^{2}$ 的值，于是能够构建出一个平面。我们要预测面积、房间个数和房价的映射关系，构建如下模型

从Y轴向下俯视该平面，可以获得该平面在x1、 x2两坐标轴上的投影。同样，由(x1、 x2)点衍生到平面上后，对应的Y轴值即是对应的房价值y或记作h(x)

如果有1个特征，我们得到了一条直线模型。如果有2个特征，我们得到了一个平面。如果有2个以上的特征呢？

2个特征形成的平面，结合目标值构成了一个三维的图像，对于更高维度的思维结构人类是无法想象出来的。对于两个以上特征形成的n维模型，我们称之为超平面(Hyperplane)

模型：

h(x) = θ0 + θ1x1 + θ2x2 + … + θnxn

h(x) = Σ θixi（ i=0~n ）

h(x) = θTX = [θ1,θ2,θ3,…,θn] * [x1,x2,x3,…,xn]T 即θ矩阵的转置，乘以X的矩阵。

注：所有特征默认都是列向量

1.2 导数

导数就是曲线的斜率，是曲线变化快慢的一个反应。

二阶导数是斜率变化的反应，表现曲线的凹凸性

1.3 偏导数

导数是针对单一变量的，当函数是多变量的，偏导数 就是关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定不变（固定一个变量求导数）。

1.4 梯度

梯度是一个向量，表示某一函数在该点处的 方向导数 ，沿着该方向取最大值，即函数在该点处沿着该方向变化最快，变化率最大（即该梯度向量的模）；当函数为一维函数的时候，梯度就是导数。

二、求解

2.1 求解方法

1.解析解：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，它由两部分组成：

计算所有样本误差的平均（代价函数）
使用最优化方法寻找数据的最佳函数匹配（抽象的）

2.数值解：梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等

2.2 线性回归算法的步骤

Step1：画出散点图确定回归方程

Step2：写出回归方程的基本形式（以线性为例）。最终目的是要计算出θ的值，并选择最优的θ构成算法公式

Step3:写出目标函数，object：样本预测值与实际值的差值最小化

Step4:计算待估计参数的值，求出回归方程

三、方法一：极大似然估计解释最小二乘法

3.1 似然函数

前提假设：对于 $y^{i}=\theta ^{T}x^{i}+\varepsilon^{i}$ ，误差 $\varepsilon^{i}$ 是独立同分布的，服从均值为0，方差为某定值 $\sigma ^{2}$ 的高斯分布

解释：实际问题中，很多随机现象可以看做众多因素的独立影响的综合反应，如房价往往由距离地铁位置，周围是否由学校等因素影响（误差 $\varepsilon^{i}$ 同样如此），往往服从正态分布（原因：中心极限定理）

所以，对于第i个样本，误差满足如下公式：

根据中心极限定理得到似然函数：

取对数，得到对数似然函数：

化简，得到目标函数：

3.2 最小二乘法

对于 $y=\theta ^{T}x$ ，其中

目标函数：

对目标函数进行求导：

3.3 最小二乘法的参数最优解

参数解析式

最小二乘法的使用要求矩阵 $X^{T}X$ 是可逆的；为了防止不可逆或者过拟合的问题存在，可以增加额外数据影响，导致最终的矩阵是可逆的：

最小二乘法直接求解的难点：矩阵逆的求解是一个难处

3.4 损失函数，代价函数，目标函数

损失函数（Loss Function）定义在单个样本上，算的是一个样本的误差。比如

损失函数形式如下：

3.5 线性回归过拟合

一般来说，模型的训练误差很小，而预测误差很大的情况下，模型存在过拟合的情况

目标函数

为了防止数据过拟合，也就是的θ值在样本空间中不能过大/过小，可以在目标函数之上增加一个平方和损失：

正则项(norm)：这里这个正则项叫做L2-norm

3.5.1 Ridge回归(岭回归)

使用L2正则的线性回归模型就称为Ridge回归(岭回归)

3.5.2 LASSO回归

使用L1正则的线性回归模型就称为LASSO回归(Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)

3.5.3 Elasitc Net算法

同时使用L1正则和L2正则的线性回归模型就称为Elasitc Net算法(弹性网络算法)

3.5.4 Ridge(L2-norm)和LASSO(L1-norm)比较

L2-norm中，由于对于各个维度的参数缩放是在一个圆内缩放的，不可能导致有维度参数变为0的情况，那么也就不会产生稀疏解；实际应用中，数据的维度中是存在噪音和冗余的，稀疏的解可以找到有用的维度并且减少冗余，提高回归预测的准确性和鲁棒性（减少了overfitting）(L1-norm可以达到最终解的稀疏性的要求)

Ridge模型具有较高的准确性、鲁棒性以及稳定性；LASSO模型具有较高的求解速度。

如果既要考虑稳定性也考虑求解的速度，就使用Elasitc Net

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由上图可知，对于二元线性回归来说，L1正则的限制性区域为蓝色正方形固定区域，L2正则限制性区域为蓝色圆形固定区域，当目标函数前半部分与后半部分（限制性条件）相交时，集等势线与固定区域相交，交点即为最优解，L1正则交点存在参数为0的情况，而L2则不存在，由此可推出L1正则容易产生稀疏解（元素为零）

3.6模型效果评判标准

MSE：误差平方和，越趋近于0表示模型越拟合训练数据。
RMSE：MSE的平方根，作用同MSE
$R^{2}$ ：取值范围(负无穷,1]，值越大表示模型越拟合训练数据；最优解是1；当模型预测为随机值的时候，有可能为负；若预测值恒为样本期望， $R^{2}$ 为0
TSS：总平方和TSS(Total Sum of Squares)，表示样本之间的差异情况，是伪方差的m倍
RSS：残差平方和RSS（Residual Sum of Squares），表示预测值和样本值之间的差异情况，是MSE的m倍

3.7机器学习调参

在实际应用中，对于各种算法模型（线性回归）来讲，我们需要获取θ、λ、p \theta、\lambda、pθ、λ、p的值，由于λ、p \lambda、pλ、p为超参数，无法求解，需要人为设定，从而求解最优的θ \thetaθ值，该过程为调参（超参数）

交叉验证：将训练数据分为多份，其中一份进行数据验证并获取最优的超参数λ \lambdaλ和p pp；比如：十折交叉验证、五折交叉验证（scikit-learn中默认）等。

四、方法二：梯度下降法

梯度下降法（Gradient Descent, GD）常用于求解无约束情况下凸函数（Convex Function）的极小值，是一种迭代类型的算法，因为凸函数只有一个极值点，故求解出来的极小值点就是函数的最小值点

目标函数θ求解

4.1 梯度下降法（数值解）过程

Step1:初始化θ（随机初始化）

Step2:沿着负梯度方向迭代，新的θ 能够使得J(θ) 更小α：学习率、步长

Step3:如果J(θ) 能够继续减小，返回Step2，直到迭代完成。

注：仅考虑单个样本的单个θ 参数的梯度值

4.2批量梯度下降法（BGD）

使用所有样本的梯度值作为当前模型参数θ 的更新

4.3随机梯度下降法（SGD）

使用单个样本的梯度值作为当前模型参数θ的更新

4.4 BGD和SDB的区别

SGD速度比BGD快（整个数据集从头到尾执行的迭代次数少）
SGD在某些情况下（全局存在多个相对最优解，J(θ)不是一个二次函数），SGD有可能会跳出某些小的局部最优解，所以一般情况下不会比BGD差；SGD在收敛的位置会存在J(θ)函数波动的情况，抗噪声很差。
BGD一定能够得到一个局部最优解（在线性回归模型中一定是得到一个全局最优解），SGD由于随机性的存在可能导致最终结果比BGD差
注意：优先选择SGD

4.5小批量梯度下降法（MBGD）

如果要满足算法训练过程较快，又需要保证最终参数训练的准确率较高，提出小批量梯度下降法（Mini-batch Gradient Descent，简称MBGD）。
MBGD中是把样本划分为b个样本（b一般为10），然后以这b个样本的平均梯度为更新方向：

4.6 学习率选择和参数初始化

由于梯度下降法中负梯度方向作为变量的变化方向，所以有可能导致最终求解的值是局部最优解，所以在使用梯度下降的时候，一般需要进行一些调优策略

学习率的选择：学习率过大，表示每次迭代更新的时候变化比较大，有可能会跳过最优解；学习率过小，表示每次迭代更新的时候变化比较小，就会导致迭代速度过慢，很长时间都不能结束；

算法初始参数数值的选择：初始值不同，最终获得的最小值也有可能不同，因为梯度下降法求解的是局部最优解，所以一般情况下，选择多次不同初始值运行算法，并最终返回损失函数最小情况下的结果值；

标准化：由于样本不同特征值的取值范围不同，可能会导致在各个不同参数上迭代速度不同，为了减少特征取值的影响，可以将特征进行标准化操作。

4.7 BGD、SGD、MBGD的区别

当样本量为m的时候，每次迭代BGD算法中对于参数值更新一次，SGD算法中对于参数值更新m次，MBGD算法中对参数值更新m/n次，相对来讲SGD的更新速度最快；

SGD算法中对于每个样本都需要更新参数值，当样本值不太正常的时候，就有可能会导致本次的参数更新会产生相反的影响，也就是说SGD算法的结果并不完全收敛，而是在收敛结果处波动；

SGD算法是每个样本都更新一次参数值，所以SGD算法特别适合样本数据量特别大的情况以及在线机器学习（Online ML）

五、局部加权回归

局部加权回归-损失函数

普通线性回归损失函数：

局部加权回归损失函数：

局部加权回归权重值 $w^{i}$ 是权重，主要是根据预测点与训练集点的距离作为数据集中的点赋权值。当某点离要预测的点越远，其权重越小，否则越大。常用的公式为：

该函数称为指数衰减函数，其中k 为波长参数，它控制了权值随距离下降的速率

注意：使用该方式主要应用到样本之间的相似性考虑

NOTE：局部加权回归是一种非参数学习算法，也就是说参数不固定，在每一次预测的时候，均需要使用训练数据重新训练模型参数。

奔跑的大西吉

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