线性回归是机器学习中最基本的算法了，一般要学习机器学习都要从线性回归开始讲起，本节就对线性回归做一个详细的解释。
实例引入
在讲解线性回归之前，我们首先引入一个实例，张三、李四、王五、赵六都要贷款了，贷款时银行调查了他们的月薪和住房面积等因素，月薪越高，住房面积越大，可贷款金额越多，下面列出来了他们四个人的工资情况、住房面积和可贷款金额的具体情况：
| 姓名 | 工资(元) | 房屋面积(平方) | 可贷款金额(元) |
|---|---|---|---|
| 张三 | 6000 | 58 | 30000 |
| 李四 | 9000 | 77 | 55010 |
| 王五 | 11000 | 89 | 73542 |
| 赵六 | 15000 | 54 | 63201 |
看到了这样的数据，又来了一位孙七，他工资是 12000 元，房屋面积是 60 平，那他大约能贷款多少呢？
思路探索
那这时候应该往哪方面考虑呢？如果我们假定可贷款金额和工资、房屋面积都是线性相关的，要解决这个问题，首先我们想到的应该就是初高中所学的一次函数吧，它的一般表达方式是 y=wx+by=wx+b，xx 就是自变量，yy 就是因变量，ww 是自变量的系数，bb 是偏移量，这个式子表明 yy和 xx 是线性相关的，yy 会随着 xx 的变化而呈现线性变化。
现在回到我们的问题中，情况稍微不太一样，这个例子中是可贷款金额会随着工资和房屋面积而呈现线性变化，此时如果我们将工资定义为 x1x1，房屋面积定义为 x2x2，可贷款金额定义为 yy，那么它们三者的关系就可以表示为： y=w1x1+w2x2+by=w1x1+w2x2+b，这里的自变量就不再是一个了，而是两个，分别是 x1x1 和 x2x2，自变量系数就表示为了 w1w1 和 w2w2，我们将其转化为表达的形式，同时将变量的名字换一下，就成了这个样子：
$$
h_{theta}(x) = theta_0 + theta_1x_1 + theta_2x_2
$$
这里只不过是将原表达式转为函数形式，换了个表示名字，另外参数名称从 ww 换成了 thetatheta，bb 换成了 theta0theta0，为什么要换？因为在机器学习算法中 thetatheta 用的更广泛一些，约定俗成。
然后这个问题怎么解？我们只需要求得一组近似的 thetatheta 参数使得我们的函数可以拟合已有的数据，然后整个函数表达式就可以表示出来了，然后再将孙七的工资和房屋面积代入进去，就求出来他可以贷款的金额了。
思路拓展
那假如此时情景变一变，变得更复杂一些，可贷款金额不仅仅和工资、房屋面积有关，还有当前存款数、年龄等等因素有关，那我们的表达式应该怎么写？不用担心，我们有几个影响因素，就写定义几个变量，比如我们可以将存款数定义为 x3x3，年龄定义为 x4x4，如果还有其他影响因素我们可以继续接着定义，如果一共有 nn 个影响因素，我们就定义到 xnxn，这时候函数表达式就可以变成这样子了：
$$
h_{theta}(x) = theta_0 + theta_1x_1 + theta_2x_2 + … + theta_nx_n
$$
这个式子看起来挺长的不好写的吧，我们可以使用求和公式写成如下形式：
$$
h_{\theta}(x) = \sum_{i=0}^{n}\theta_ix_i = \theta^Tx
$$
如果要使得这个公式成立，这里需要满足一个条件就是 x0=1x0=1，其实在实际场景中 x0x0 是不存在的，因为第一个影响因素我们用 x1x1 来表示了，第二个影响因素我们用 x2x2 来表示了，依次类推。所以这里我们直接指定 x0=1x0=1 即可。
后来我们又将公式简化为线性代数的向量表示，这里 thetaTthetaT 是 thetatheta 向量转置的结果，而 thetatheta 向量又表示为 (theta0,theta1,…,thetan)(theta0,theta1,…,thetan)，同样地，xx 向量可以表示为 (x0,x1,…,xn)(x0,x1,…,xn)，总之，表达成后面的式子，看起来更简洁明了。
好了，这就是最基本的线性判别解析函数的写法，是不是很简单。
实际求解
那接下来我们怎样实际求解这个问题呢？比如拿张三的数据代入到这个函数表达式中，这里还是假设有两个影响因素，张三的数据我们可以表示为 x(1)1=6000,x(1)2=58,y(1)=30000x1(1)=6000,x2(1)=58,y(1)=30000，注意这里我们在数据的右上角加了一个小括号，里面带有数字，如果我们把张三的数据看成一个条目，那么这个数字就代表了这个条目的序号，1 就代表第一条数据，2 就代表第二条数据，为啥这么写？也是约定俗成，以后也会经常采用这样的写法，记住就好了。
所以，我们的愿景是要使得我们的函数能够拟合当前的这条数据，所以我们希望是这样的情况：
$$
y^{(1)} = sum {i=0}^{n}theta {i}x_{i}^{(1)} = theta^Tx^{(1)}
$$
其中 y(1)y(1) 是真实值，但我们知道，哪有那么容易十全十美，丝毫不差的拟合函数，所以上面的式子一般来说是不成立的，函数计算值和真实值还是多少还是有一定的误差的吧，如果我们想知道函数真实拟合的结果的话，我们需要把 xx 变量代入函数，会得到一个函数本身拟合的结果，是这样的：
$$
h_{\theta}(x^{(1)}) = \sum_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}^{(1)} = \theta^Tx^{(1)}
$$
这里的 htheta(x(1))htheta(x(1)) 就是我们函数得到的结果了。一般来说，二者是会存在一定的误差的，所以误差我们一般可以写成他们的差的绝对值或平方的形式，使用绝对值或平方的目的是消去正负号的影响，比如写成平方的形式就是这样子：
$$
(h_{\theta}(x^{(1)}) – y^{(1)})^2
$$
这个式子就是我们函数真实拟合值和真实值之间的差距，没问题吧。
相应的，如果是李四的数据，误差就可以写为：
$$
(h_{\theta}(x^{(2)}) – y^{(2)})^2
$$
依次类推，如果是第 ii 条数据，误差就可以写成：
$$
(h_{\theta}(x^{(i)}) – y^{(i)})^2
$$
要使得我们的函数对所有的数据都能尽量很好地拟合，我们可以把这些误差加起来求个平均，假设一共 mm 条数据，那么所有数据的误差可以写成如下形式：
$$
J(\theta) = \dfrac{1}{2m}\sum_{i=1}^{m}(h_\theta(x^{(i)}) – y^{(i)})^2
$$
注意这里 ii 指的是第几条数据，是从 1 开始的，一直到 mm 为止，然后使用了求和公式对每一条数据的误差进行累加和，最后除以了 2m2m，我们的最终目的就是找出合适的 thetatheta，使得这个 J(theta)J(theta) 的值最小，即误差最小，在机器学习中，我们就把 J(theta)J(theta) 称为损失函数（Loss Function），即我们要使得损失值最小。
有的小伙伴可能好奇损失函数前面为什么是 2m2m，而不是 mm？因为我们后面要用到这个算式的导数，所以这里多了个 2 是为了便于求导计算。况且一个表达式要求最小值，前面乘一个常数是对结果没影响的。
求解过程
由于我们求解的是线性回归问题，所以整个损失函数的图像非常简单清晰，如果只有 theta1theta1 和 theta2theta2 两个参数，我们甚至可以直接画出其图像，整个损失函数大小随 theta1theta1 和 theta2theta2 的变化实际上类似于这样子：
可以看到这是一个凸函数，竖轴代表损失函数的大小，横纵两轴代表 theta1theta1 和 theta2theta2 的变化，可见在中间的最低谷损失函数取得最小值，这时候损失函数在 theta1theta1 和 theta2theta2 上的导数都是 0，因此我们可以一步到位，直接用偏导置零的方式来求解损失函数取得最小值时的 thetatheta 值的大小。
所以我们可以先对每个 thetatheta 求解其偏导结果，这里 thetatheta 表示为 thetajthetaj，代表 thetatheta 中的某一维：
$$
dfrac{partial{J(theta)}}{partial{theta j}} = dfrac{1}{2m} dfrac{partial({sum {i=1}^{m}{(y^{(i)} – h_{theta}(x^{(i)}))^2}})}{partial{theta
j}} \
{i=1}^{m}((h_{theta}(x^{(i)}) – y^{(i)})x_j^{(i)})
$$
直接将偏导置零即可直接求解 $ theta
j $：
$$
{i=1}^{m} {h_{theta}(x^{(i)})x j^{(i)}} – sum {i=1}^{m}y^{(i)}x_j^{(i)} = 0
$$
这里将所有数据代入，即可通过求解方程组的形式直接解出 thetajthetaj 的值，但这些方程组里面其实 thetajthetaj 之间存在彼此依赖关系，需要联立求解出来。
如果不用这种求解方式，我们可以使用梯度下降的方式来进行求解，在这里 thetajthetaj 只需要逐步更新即可：
$$
theta_j = theta_j – alphadfrac{partial{J(theta)}}{partial{theta_j}} \
= theta j – dfrac{alpha}{m}sum {i=1}^{m}((h_{theta}(x^{(i)}) – y^{(i)})x_j^{(i)})
$$
这里 alphaalpha 就是学习率，thetajthetaj 每经过一步都会进行一次更新，得到新的结果，经过梯度下降过程，thetajthetaj 都会更新为使得梯度最小化的数值，最后就完成了 thetatheta 的求解。
以上便是线性回归的整个推导和求解过程。
实战操作
现在呢，我们想要根据前面的数据来求解这个真实的问题，为了解决这个问题，我们在这里用 Python 的 Sklearn 库来实现。
对于线性回归来说，Sklearn 已经做好了封装，直接使用 LinearRegression 即可。
它的 API 如下：
class sklearn.linear_model.LinearRegression(fit_intercept=True, normalize=False, copy_X=True, n_jobs=None)
参数解释如下：
- fit_intercept : 布尔值，是否使用偏置项，默认是 True。
- normalize : 布尔值，是否启用归一化，默认是 False。当 fit_intercept 被置为 False 的时候，这个参数会被忽略。当该参数为 True 时，数据会被归一化处理。
- copy_X : 布尔值，默认是 True，如果为 True，x 参数会被拷贝不会影响原来的值，否则会被复写。
- n_jobs：数值或者布尔，如果设置了，则多核并行处理。
属性如下：
- coef_：x 的权重系数大小
- intercept_：偏置项大小
代码实现如下：
from sklearn.linear_model import LinearRegression
x_data = [
[6000, 58],
[9000, 77],
[11000, 89],
[15000, 54]
]
y_data = [
30000, 55010, 73542, 63201
]
lr = LinearRegression()
lr.fit(x_data, y_data)
print('方程为：y={w1}x1+{w2}x2+{b}'.format(w1=round(lr.coef_[0], 2),
w2=round(lr.coef_[1], 2),
b=lr.intercept_))
x_test = [[12000, 60]]
print('住房面积为：', lr.predict(x_test)[0])
运行结果：
方程为：y=4.06x1+743.15x2+-37831.862532707615 住房面积为：55484.33779181102
在这里我们首先声明了 LinearRegression 对象，然后将数据整合成 x_data 和 y_data 的形式，然后通过调用 fit() 方法来对数据进行拟合。
拟合完毕之后，LinearRegression 的 coef_ 对象就是各个 x 变量的权重大小，即对应着 $ theta_1, theta 2 $，intercept 则是偏移量，对应着 theta0theta0，这样我们就可以得到一个线性回归表达式了。
然后我们再调用 predict() 方法，将新的测试数据传入，便可以得到其预测结果，最终结果为 55484.34，即孙七的可贷款额度为 55484.34 元。
以上便是机器学习中线性回归算法的推导解析和相关调用实现。