背包问题详解（c++）-01背包

一 01背包问题

题目描述:

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。第 i件物品的体积是 v，价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式:

第一行两个整数 N，V用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。接下来有 N 行，每行两个整数 vi,wi用空格隔开，分别表示第 i件物品的体积和价值。

分析:

每种物品只有一件,可以选择放和不放。那么我们很容易利用动态规划思想得到状态转移方程:

f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]} // f[i][j]表示前i件物品恰放入一个容量为j的背包可以获得的最大价值。

有了状态转移方程,我们可以直接写出01背包问题二维数组的解法。

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n,m;

int v[N],w[N];

int f[N][N];

int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i = 1;i<=n;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i =1;i<=n;i++){
        for(int j = 0;j<=m;j++){
            f[i][j] = f[i-1][j];//不含第i个物品
            if(j>=v[i]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
     cout<<f[n][m]<<endl;
     return 0;
}

该方法的时间与空间复杂度均为O(nm)。,时间复杂度已经无法优化了,空间复杂度可以继续优化到O(n),这里我们观察状态转移方程可以得知,f[i][]只与f[i-1][] 有关。那么我们可以只使用一个一维的数组f[0…v]来表示f[i][0…v],状态转移方程为:

f[j] = max(f[ j ],f[ j-v[i] ]+w[i]);

为了使 一维转移方程 max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]) 与二维的状态转移方程 max{f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]}相对应,我们需要将背包大小m从大到小枚举,而不是顺序枚举。why?为什么要逆序枚举,大家可以看这篇文章https://blog.csdn.net/xiajiawei0206/article/details/19933781
或者自己模拟一下数据,用顺序枚举的方式推一篇,也就很容易明白了。
下面是01背包一维数组优化的代码:

// 一维数组优化版
#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

const int N =1010;

int n,m;
int v[N],w[N];
int f[N];

int main(){
    cin>>n>>m;
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>v[i]>>w[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=v[i];j--){
            f[j] = max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
        }
    }
    cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

我们可以直接得到01背包问题的模板

//m为背包大小.cost为代价,weight为价值
void ZeroOnePack(int cost,int weight)
{
    for(int i=m;i>=cost;i--)
        f[i] = max(f[i],f[i-cost]+weight);
}

背包问题还可能有一些变种的问法,有的要求恰好装满背包,有的没有要求.这两种的初始化是不同的。如果需要恰好装满背包,那么初始化时除了f[0]为0其它f[1…V]均设为-∞,没有要求恰好装满的话,初始化时应该将f[0…V]全部设为0。