蓝桥杯入门训练之Fibonacci数列

Fibonacci数列

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问题描述
Fibonacci数列的递推公式为： $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ ，其中 $F_1=F_2=1$
当n比较大时， $F_n$ 也非常大，现在我们想知道， $F_n$ 除以10007的余数是多少。

输入格式
输入包含一个整数n

输出格式
输出一行，包含一个整数，表示 $F_n$ 除以10007的余数。

说明：在本题中，答案是要求 $F_n$ 除以10007的余数，因此我们只要能算出这个余数即可，而不需要先计算出 $F_n$ 的准确值，再将计算的结果除以10007取余数，直接计算余数往往比先算出原数再取余简单。

样例输入
10

样例输出
55

样例输入
22

样例输出
7704

数据规模
$1<=n<=1,000,000$

解题思路：

第一反应是递归，结果发现自己有点憨憨递归肯定超时，结果真的30分，于是就想着优化，我会的有下面两种方式

利用类似于vector设置两个变量一个中间变量: $a,b = b, (a+b)\%10007$ 即可
利用曾经学过的矩阵快速幂加快运算，这里手推了一下又参考了网上的模板

提交代码-C++：

方案一：使用for循环

// 正常的 for 循环
#include<iostream>
using namespace std;

int main() {
	int a=1,b=1,n;
	int t;
	cin >> n;
	
	if (n==1 || n==2) cout<<1<<endl;
	else{
		for (int i=2;i<n;i++){
			t = a;
			a = b;
			b = (b+t)%10007;
		}	
		cout<<(b%10007)<<endl;
	}
	return 0;
}

方案一：使用vector

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int main(){
	int n;
	cin>>n;
	vector <int> lst;
	lst.push_back(1);
	lst.push_back(1);

	for (int i=2;i<n;i++){
		lst.push_back((lst.at(lst.size()-1)+lst.at(lst.size()-2))%10007);	
	}
	cout<<lst.at(lst.size()-1)<<endl;
	return 0;
}

方案二：

由于 $Fibonacci$ 数列的特殊性，公式为： $F_n = F_{n-1} + F_{n-2}$ ，其中 $F_1=F_2=1$ ，所以有如下矩阵关系：
$\begin{bmatrix} f(n) \\ f(n-1) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} f(n-1) \\ f(n-2) \end{bmatrix} \tag{1}$

$f(n) = f(n-1)+f(n-2) \tag{2}$

$f(n-1)=f(n-1) \tag{3}$

$矩阵关系为：A(n) = T*A(n-1) \tag{4}$

同理， $f_{n+1}和f_n$ 都可以通过继续乘以一个矩阵 $A_n=\begin{bmatrix} 1 &1 \\1 &0\end{bmatrix}$ 得到，所以根据所学矩阵乘法计算 $\begin{bmatrix} f(n) \\ f(n-1) \end{bmatrix}$ 的幂方，可以根据矩阵 ${A}^n$ 的幂方得到。

$A_n = T^{n-1} * A_1$ 这里的转移矩阵就是 $\begin{bmatrix} 1 &1 \\1 &0\end{bmatrix}$ ， $A_1$ 就是初始矩阵，而 $A_n$ 则是乘以 $n-1$ 次的常数矩阵得到的结果

// 试题 入门训练 Fibonacci数列

#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;

const int N=2;
const int mod=10007;

int tmp[N][N],res[N][N];

// temp记录矩阵a和矩阵b的乘积结果 ，这里的b矩阵就是常数/转移矩阵 
void multi(int a[][N],int b[][N],int N){ 
	memset(tmp,0,sizeof(tmp));	
	for(int i=0;i<N;i++){
		for(int j=0;j<N;j++){
				for(int k=0;k<N;k++){
						tmp[i][j]+=(a[i][k]*b[k][j])%mod; // 代表tmp[i][j]为A的第i行和B的第j列所有数 
				}
				 tmp[i][j]=tmp[i][j]%mod;
		}
	}
	
	//更新A矩阵，为下一次使用做准备 
	for(int i=0;i<N;i++)
	for(int j=0;j<N;j++)
	a[i][j]=tmp[i][j];
	 
}

//n是幂次数，N是矩阵大小,矩阵a代表的就是幂矩阵，将整数快速幂的整数换成矩阵即可 
void Pow(int a[][N],int n){
	memset(res, 0, sizeof res);
	for (int i=0;i<N;i++) res[i][i]=1; //单位矩阵初始化，对角线值为1 
	while (n) {
		if (n&1)
			multi(res,a,N);//res=res*a;复制直接在multi里面实现了；
        multi(a,a,N);//a=a*a
        n>>=1;
	}
}

// 矩阵快速幂
int main(){

	int n;
	cin>>n;
	int a[N][N]={{1,1},{1,0}}; 

	Pow(a,n);
	cout << res[0][1]<<endl; 
	
	return 0;
}

参考文章/博客：

这里的文章主要是对快速幂和矩阵乘法下的快速幂进行了讲解了，有利于对这个点的认识

快速幂：

https://www.cnblogs.com/yewanting/p/10743018.html

https://blog.csdn.net/Harington/article/details/87602682

矩阵快速幂

https://blog.csdn.net/zhangxiaoduoduo/article/details/81807338

https://blog.csdn.net/qq_42817826/article/details/81566544

https://www.cnblogs.com/cmmdc/p/6936196.html