二项式反演
- 二项式反演（binomial inversion）可以表示成
$$f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}f(i)$$
- 另一种表示方法
$$f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i)$$
- 证明
设$S$表示一个集合，$A_1$，$A_2$，...，$A_n$分别表示$S$中具有性质$P_1$，$P_2$，...，$P_n$的集合
根据容斥原理，不具有以上性质的元素组成的集合大小为
$$|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap...\cap \overline{A_n} |=|S|-\sum|A_i|+\sum|A_i\cap A_j|+...+(-1)^n|A_1\cap A_2\cap ...\cap A_n| $$
假定同时有 $i$ 个不同性质的元素组成的集合大小都相同，设为$g(i)$
$$g(i)=|\underbrace{A_{a_1}\cap A_{a_2}\cap...\cap A_{a_i}}_{i}|$$
特别的，$g(0)=|S|$
则
$$|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap...\cap \overline{A_n} |=g(0)-g(1)+g(2)+...+(-1)^ng(n)$$
$$=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}g(i)$$
设$f(i)$表示不具有前 $i$ 个性质的元素组成的集合大小
$$f(i)=|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap...\cap \overline{A_i}|$$
特别的，$f(0)=|S|$
则
$$f(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}g(i)$$
另一方面，根据容斥原理还可得
$$|A_1\cap A_2\cap...\cap A_n |=|S|-\sum|\overline{A_i}|+\sum|\overline{A_i}\cap \overline{A_j}|+...+(-1)^n|\overline{A_1}\cap \overline{A_2}\cap ...\cap \overline{A_n}| $$
$$=f(0)-f(1)+f(2)+...+(-1)^nf(n)$$
$$=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}f(i)$$
则
$$g(n)=\sum\limits_{i=1}^{n}(-1)^i\binom{n}{i}f(i)$$
得证 .