Stranger Trees
题目链接:luogu CF917D
题目大意
给你一棵 n 个点的树,然后要你对于每个 k=0~n-1,回答有多少种 n 个点的树恰好有给出树的 k 条边。
思路
我们考虑在原树上有 x x x 条边在这棵树上,对于原树它就被分成了 n − x n-x n−x 个连通块。
那就变成求有多少个分发可以分成 k k k 个连通块。
然后考虑容斥,设 F i F_{i} Fi 为至少分成 k k k 个连通块的方案数。
然后恰好是 G i G_i Gi,那 F i = ∑ j = i n ( j i ) G j F_{i}=\sum\limits_{j=i}^n\binom{j}{i} G_j Fi=j=i∑n(ij)Gj。
那我们可以用二项式反演,得到 G i = ∑ j = i n ( − 1 ) j − i ( j i ) G j G_i=\sum\limits_{j=i}^n(-1)^{j-i}\binom{j}{i} G_j Gi=j=i∑n(−1)j−i(ij)Gj。
(就可以直接暴力 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2) 求)
这里多说一下,如果是 F i = ∑ j = 0 i ( i j ) G j F_{i}=\sum\limits_{j=0}^i\binom{i}{j} G_j Fi=j=0∑i(ji)Gj。
那它的二项式反演就是 G i = ∑ j = 0 i ( − 1 ) i − j ( i j ) G j G_i=\sum\limits_{j=0}^i(-1)^{i-j}\binom{i}{j} G_j Gi=j=0∑i(−1)i−j(ji)Gj。
然后问题就是如何求 F i F_i Fi。
考虑用扩展 Cayley 公式:
Cayley 公式:一个完全图有 n n − 2 n^{n−2} nn−2 棵无根生成树,这个可以用 prufer 序列证明。
(长度是 n − 2 n-2 n−2 的 prufer 序列任意一个位置不一样都会造成树形态的不同)
扩展 Cayley 公式:被确定分成 a 1 , a 2 , . . . a k a_1,a_2,...a_k a1,a2,...ak 大小的连通块,那就有 n k − 2 ∏ i = 1 k a i n^{k-2}\prod\limits_{i=1}^k a_i nk−2i=1∏kai 棵生成树。
这个也可以用 prufer 序列或者矩阵树之类的证明。
然后问题就是 ∏ i = 1 k a i \prod\limits_{i=1}^k a_i i=1∏kai。
考虑用树形 DP 解决,设 f i , j , k f_{i,j,k} fi,j,k 为处理好 i i i 的子树,已经有 j j j 个连通块,然后 i i i 所在的连通块大小是 k k k 的权值。(这样子就是 O ( n 3 ) O(n^3) O(n3))
但其实第三维可以变成 0 / 1 0/1 0/1 表示 i i i 这个点用了吗。
然后大概就是这样转移:
f u , j , 0 f v , k , 1 → f u , j + k , 0 f_{u,j,0}f_{v,k,1}\rightarrow f_{u,j+k,0} fu,j,0fv,k,1→fu,j+k,0
f u , j , 1 f v , k , 1 → f u , j + k , 1 f_{u,j,1}f_{v,k,1}\rightarrow f_{u,j+k,1} fu,j,1fv,k,1→fu,j+k,1
(这些是不连接的)
f u , j , 0 f v , k , 0 → f u , j + k − 1 , 0 f_{u,j,0}f_{v,k,0}\rightarrow f_{u,j+k-1,0} fu,j,0fv,k,0→fu,j+k−1,0
f u , j , 0 f v , k , 1 + f u , j , 1 f v , k , 0 → f u , j + k − 1 , 1 f_{u,j,0}f_{v,k,1}+f_{u,j,1}f_{v,k,0}\rightarrow f_{u,j+k-1,1} fu,j,0fv,k,1+fu,j,1fv,k,0→fu,j+k−1,1
(这些是连接的)
然后我们要的就是 f r t , x , 1 f_{rt,x,1} frt,x,1,把它翻转(就从连通块变成重合边树)就可以二项式定理搞输出答案了。
代码
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define mo 1000000007
using namespace std;
struct node {
int to, nxt;
}e[201];
int n, x, y, le[101], KK;
int sz[201];
ll f[201][201][2], G[201], tmp[201][201][2], F[201];
void add(int x, int y) {
e[++KK] = (node){
y, le[x]}; le[x] = KK;
e[++KK] = (node){
x, le[y]}; le[y] = KK;
}
void dfs(int now, int father) {
//树形DP
f[now][1][0] = f[now][1][1] = 1; sz[now] = 1;
for (int i = le[now]; i; i = e[i].nxt)
if (e[i].to != father) {
dfs(e[i].to, now);
for (int j = 1; j <= sz[now]; j++)
for (int k = 1; k <= sz[e[i].to]; k++) {
tmp[now][j + k][0] = (tmp[now][j + k][0] + f[now][j][0] * f[e[i].to][k][1] % mo) % mo;
tmp[now][j + k][1] = (tmp[now][j + k][1] + f[now][j][1] * f[e[i].to][k][1] % mo) % mo;
tmp[now][j + k - 1][0] = (tmp[now][j + k - 1][0] + f[now][j][0] * f[e[i].to][k][0] % mo) % mo;
tmp[now][j + k - 1][1] = (tmp[now][j + k - 1][1] + (f[now][j][0] * f[e[i].to][k][1] % mo + f[now][j][1] * f[e[i].to][k][0] % mo) % mo) % mo;
}
sz[now] += sz[e[i].to];
for (int j = 1; j <= sz[now]; j++) {
f[now][j][0] = tmp[now][j][0], f[now][j][1] = tmp[now][j][1];
tmp[now][j][0] = tmp[now][j][1] = 0;
}
}
}
ll jc[201], inv[201];
ll C(int n, int m) {
return jc[n] * inv[m] % mo * inv[n - m] % mo;
}
ll ksm(ll x, ll y) {
ll re = 1;
while (y) {
if (y & 1) re = re * x % mo;
x = x * x % mo;
y >>= 1;
}
return re;
}
void get_ans() {
jc[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) jc[i] = jc[i - 1] * i % mo;
inv[0] = inv[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) inv[i] = inv[mo % i] * (mo - mo / i) % mo;
for (int i = 1; i <= n; i++) inv[i] = inv[i - 1] * inv[i] % mo;
for (int i = 1; i <= n; i++)//扩展Cayley公式
if (i != 1) F[i] = f[1][i][1] * ksm(n, i - 2) % mo;
else F[1] = 1;
reverse(F, F + n + 1);
ll zt;
for (int i = 0; i < n; i++) {
//二项式反演
for (int j = i; j <= n; j++) {
if ((j - i) & 1) zt = -1;
else zt = 1;
G[i] = (G[i] + zt * C(j, i) * F[j] % mo + mo) % mo;
}
printf("%lld ", G[i]);
}
}
int main() {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i < n; i++) {
scanf("%d %d", &x, &y);
add(x, y);
}
dfs(1, 0);
get_ans();
return 0;
}