【Learning】二项式反演

如果我们有一个这样的式子

$$f(n)=\sum_{i=0}^{n}g(i)C_{n}^{i}$$
并且我们已经知道了 $f$，我们能否直接求出 $g$呢？答曰：可以。这个东西就叫做二项式反演。结果就是
$$g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_{n}^{i}f(i)$$
怎么证？
一般证明反演的套路，我们带入一下

$$g(n)=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}C_{n}^{i}\sum_{j=0}^{i}g(j)C_{i}^{j}$$
改变一下枚举顺序
$$g(n)=\sum_{j=0}^{n}g(j)\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}C_{n}^{i}C_{i}^{j}$$
暴拆之后，我们发现一个式子
$$C_{n}^{i}C_{i}^{j}=C_{n}^{j}C_{n-j}^{n-i}$$
替换一下
$$g(n)=\sum_{j=0}^{n}g(j)\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}C_{n}^{j}C_{n-j}^{n-i}$$
$$g(n)=\sum_{j=0}^{n}C_{n}^{j}g(j)\sum_{i=j}^{n}(-1)^{n-i}C_{n-j}^{n-i}$$
后面的东西直接二项式定理
$$g(n)=\sum_{j=0}^{n}C_{n}^{j}g(j)(-1+1)^{n-j}$$
仅当 $n-j=0$，即 $n=j$， $(-1+1)^{n-j}$才不为0
因此 $$g(n)=C_{n}^{n}g(n)=g(n)$$
证明完毕。
例题