二项式定理
内容
- \((x+y)^n=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^k y^{n-k} = \sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^{n-k} y^k\)
证明方法1
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\((x+y)^n=x(x+y)^{n-1}+{\cdots}=xy(x+y)^{n-2}+{\cdots}=xyx(x+y)^{n-3}+{\cdots}={\cdots}\)
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由上可知 对于每个 \(x\) 都有一条相乘的路径
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如果选择 \(k\) 个 \(x\) 那么就会选择 \(n-k\) 个 \(y\)
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那么我们可以得到式子 \(x^ky^{n-k}\)
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对于每个组成的 \(x^ky^{n-k}\)
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都可以是 在 \(n\) 个 \(x\) 中选择 \(k\) 个 \(x\)
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那么 \(x^ky^{n-k}\) 的 个数 ( 即系数 ) 为 \(C{_n^k}\)
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综上 \((x+y)^n=\sum_{k=0}^n\ C{_n^k} x^k y^{n-k}\)
证明方法2
- 考虑用数学归纳法。
当 时,则
假设二项展开式在 时成立。
设 ,则有:
,(将a、b<乘入)
,(取出 的项)
,(设 )
,( 取出 项)
,(两者相加)
,(套用帕斯卡法则)