二项式反演的另一种证明方式

收集一个巧妙证法
有 $f(i)=\sum_{j=i}^n\binom{j}{i}g(j)$
证 $g(i)=\sum_{j=i}^n(-1)^{j-i}\binom{j}{i}f(i)$
考虑 $f,g$ 的生成函数
$G(x)=\sum_{i=0}^ng(i)x^i$
则 $G(x+1)=\sum_{i=0}^ng(i)\sum_{j=0}^ix^j\binom{i}{j}=\sum_{j=0}^nx^j\sum_{i=j}^n\binom{i}{j}g(i)=F(x)$
所以 $G(x)=F(x-1)=\sum_{i=0}^nf(i)\sum_{j=0}^i(-1)^{j-i}\binom{i}{j}x^j=\sum_{i=0}^nx^i\sum_{j=i}^n\binom{j}{i}(-1)^{j-i}f(j)$