组合数学——二项式反演

反演概述

反演方法是一种求解序列的方法，这种方法可以把一个序列用另一个序列表示出来。
粗略来说，就是根据两个序列 $\{f(n)\}$ 和 $\{g(n)\}$ 所满足的特殊关系，给出它们的相互表示方法。
具体来说，为了得到某个组合计数问题的解，我们首先求出相应序列 $f(n)$ 所满足的(累计)关系式

\begin{matrix} (1.1) & \sum_{r = 1}^{n} c_{n, r} f (r) = g (n) \end{matrix}

$\sum_{r = 1}^{n}{c_{n,r}}f(r) =g(n)\tag{1.1}$
其中，

g (n)

$g(n)$ 是已知序列，然后从中解出

\begin{matrix} (1.2) & \sum_{r = 1}^{n} d_{n, r} g (r) = f (n) \end{matrix}

$\sum_{r=1}^{n}d_{n,r}g(r) = f(n)\tag{1.2}$

(1)

$(1)$ 与

(2)

$(2)$ 两式互为反演公式。

互逆公式：若由公式 $A$ 可推出公式 $B$ ，由公式 $B$ 也能推出公式 $A$ ，则称公式 $A$ 、 $B$ 互逆。
反演公式：如果公式 $A$ 、 $B$ 互逆，则称命题“公式 $A$ 成立当且仅当公式 $B$ 成立”是反演公式。
反演技巧：为了求 $a_n=|A_n|$ ，引进 $b_n=|B_n|$ ，其中 $b_n$ 是易求的或者已知的。先建立 $b_n$ 由 $\{a_k\}$ 的表达公式 $A$ ,然后应用反演公式，得到公式 $B$ ，此公式是用 $\{b_k\}$ 表示 $a_n$ 的公式，从而求出 $a_n$ 。

第一反演公式

定理(第一反演公式)：设 $n$ 是一个自然数，多项式序列 $\{p_n\}$ ， $\{q_n\}$ (其中 $p_n,q_n$ 均为 $n$ 次多项式)有下列关系

\begin{matrix} (2.1) & p_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} α_{n k} q_{k} (x), q_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} β_{n k} p_{k} (x) \end{matrix}

$p_n(x) = \sum_{k=0}^{n}α_{nk}q_k(x), q_n(x)=\sum_{k=0}^{n}β_{nk}p_k(x)\tag{2.1}$
且 $α_{ii}≠0,β_{ii}≠0$ ，则

\begin{matrix} (2.2) & v_{n} = \sum_{k = 0}^{n} α_{n k} u_{k} \Leftrightarrow u_{n} = \sum_{k = 0}^{n} β_{n k} v_{k} \end{matrix}

$v_n=\sum_{k=0}^{n}α_{nk}u_k \Leftrightarrow u_n = \sum_{k=0}^{n}\beta_{nk}v_k\tag{2.2}$
证明：令

p = (p_{0}, p_{1}, . . ., p_{n})^{T}, q = (q_{0}, q_{1}, . . ., q_{n})^{T}

$p = (p_0,p_1,...,p_n)^T, q = (q_0, q_1,...,q_n)^T$

u = (u_{0}, u_{1}, . . ., u_{n})^{T}, v = (v_{0}, v_{1}, . . ., v_{n})^{T}

$u = (u_0,u_1,...,u_n)^T, v = (v_0, v_1, ..., v_n)^T$ 将已知条件以矩阵显示表示为

[\begin{matrix} p_{0} \\ p_{1} \\ ⋮ \\ p_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} α_{00} & 0 & \dots & 0 \\ α_{10} & α_{11} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ α_{n 0} & α_{n 1} & \dots & α_{n n} \end{matrix}] [\begin{matrix} q_{0} \\ q_{1} \\ ⋮ \\ q_{n} \end{matrix}] 即 p = A q [\begin{matrix} q_{0} \\ q_{1} \\ ⋮ \\ q_{n} \end{matrix}] = [\begin{matrix} β_{00} & 0 & \dots & 0 \\ β_{10} & β 11 & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & 0 \\ β_{n 0} & β_{n 1} & \dots & β_{n n} \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{0} \\ p_{1} \\ ⋮ \\ p_{n} \end{matrix}] 即 q = B p

$\begin{bmatrix} p_0 \\ p_1 \\ \vdots \\ p_n \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \alpha_{00}&0 &\cdots &0 \\ \alpha_{10}&\alpha_{11} &\cdots &0 \\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\ \alpha_{n0}&\alpha_{n1} &\cdots &\alpha_{nn} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_0\\ q_1\\ \vdots\\ q_n\\ \end{bmatrix}即p=Aq \\ \begin{bmatrix} q_0\\ q_1\\ \vdots\\ q_n\\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} \beta_{00}&0&\cdots&0\\ \beta_{10}&\beta{11}&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&0\\ \beta_{n0}&\beta_{n1}&\cdots&\beta_{nn}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_0\\ p_1\\ \vdots\\ p_n\\ \end{bmatrix}即q=Bp$
于是，

p = A q = A B p

$p=Aq=ABp$ .由于p是线性空间

R [x]

$R[x]$ 的一组基，所以

A B = I

$AB=I$ ，于是

A^{- 1} = B

$A^{-1}=B$ 所以

v = A u \Leftrightarrow u = A^{- 1} v = B v

$v=Au\Leftrightarrow u=A^{-1}v=Bv$

二项式反演公式

定理(二项式反演公式): 假设有两个序列 $\{a_n\},\{b_n\}$ ，则

\begin{matrix} (3.1) & a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) b_{k} \Leftrightarrow b_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} (\binom{n}{k}) a_{k} \end{matrix}

$a_n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}b_k\Leftrightarrow b_n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}a_k\tag{3.1}$
定理证明:

\begin{matrix} (3.2) & x^{n} = (1 + x - 1)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) (x - 1)^{k} \end{matrix}

$x^n=(1+x-1)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(x-1)^k\tag{3.2}$

\begin{matrix} (3.3) & (x - 1)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} (\binom{n}{k}) x^{k} \end{matrix}

$(x-1)^n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}x^k\tag{3.3}$ 由

(3.2)

$(3.2)$ 、

(3.3)

$(3.3)$ 以及第一反演公式即可得到二项式反演公式

(3.1)

$(3.1)$ 。
例(错排问题)：在

n

$n$ 个数字形成的

n!

$n!$ 个排列中，满足

a_{i} \neq i

$a_i\neq i$ 的排列有多少个？
解决这一问题有以下三种方法
1. 可以通过建立递推关系

D_{n} = (n - 1) (D_{n - 1} + D_{n - 2})

$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$
2. 利用容斥原理
3. 利用二项式反演公式
利用二项式反演公式主要过程如下：
记

D_{i}

$D_i$ 为恰好有

i

$i$ 个数字不在原来的位置上的排列的数目，则有

n! = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) D_{k}

$n!=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}D_k$ ，由二项式反演公式，可以得到

D_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n - k} (\binom{n}{k}) n! = n! \sum_{r = 0}^{n} (- 1)^{r} \frac{1}{r!}

$D_n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\binom{n}{k}n!=n!\sum_{r=0}^{n}(-1)^r\frac{1}{r!}$