[学习笔记] 二项式反演

• 由于某种原因这篇文章到现在才被发出来。
• 其实本质上是容斥，虽然我之前一直不是很理解这个容斥。
• 给定 $k \in \mathbb N$，则存在以下关系式： $g_k = \sum \limits_{i = k}^{n} \binom{i}{k}f_i \Leftrightarrow f_k = \sum \limits_{i = k}^{n} (-1)^{i - k} \binom{i}{k}g_i$
• 证明：
  $\begin{aligned} \sum \limits_{i = k}^{n} (-1)^{i - k} \binom{i}{k}g_i &= \sum \limits_{i = k}^{n}(-1)^{i - k} \binom{i}{k} \sum \limits_{j = i}^{n} \binom{j}{i} f_j \\ &= \sum \limits_{j = k}^{n} f_j\sum \limits_{i = k}^{j} (-1)^{i - k} \binom{i}{k}\binom{j}{i}\\ &= \sum \limits_{j = k}^{n} f_j\sum \limits_{i = k}^{j} (-1)^{i - k} \binom{j}{k}\binom{j - k}{i - k}\\ &= \sum \limits_{j = k}^{n} \binom{j}{k} f_j \sum \limits_{i = 0}^{j - k} (-1)^{i} \binom{j - k}{i}\\ &= \sum \limits_{j = k}^{n} \binom{j}{k} f_j (1 - 1)^{j - k}\\ \end{aligned}$
• 当且仅当 $j = k$ 时， $(1 - 1)^{j - k}$ 为 $1$，其余情况下均为 $0$。
• 所以原式即为 $f_k$。