回来做个题发现二项式反演长什么样又忘记了。
记录一下在忘记二项式反演长什么样时如何推导（我怕是这辈子都想不到？）
二项式反演
有一个优(hao)美(bei)的公式：
\[ f_n = \sum_{i = 0} ^ n (-1)^i \dbinom{n}{i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i = 0} ^ n (-1)^i \dbinom{n}{i} f_i \]
还有一个实(nan)用(bei)的公式：
\[ f_n = \sum_{i = 0} ^ n \dbinom{n}{i} g_i \Leftrightarrow g_n = \sum_{i = 0} ^ n (-1) ^ {n - i} \dbinom{n}{i} f_i\]
下面推导第一个：
因为忘了第一个长什么样，所有我们假设\[g_{n} = \sum_{i = 0} ^ n t_{n,i} f_{i}\]
带入等式右边：
\[ \begin{split} f_{n} &= \sum_{i = 0} ^ n (-1) ^ i \dbinom{n}{i} \sum_{j = 0} ^ {i} t_{i,j} f_j \\ &= \sum_{i = 0} ^nf_i (\sum_{j = i} ^ n (-1) ^j \dbinom{n}{j} t_{j,i}) \\ &= \sum_{i = 0} ^ n f_i ( \sum_{j = 0} ^ {n - i} (-1)^{j + i} \dbinom{n}{j + i} t_{j + i, i} ) \end{split} \]
我们要构造一个 $ t_{j,i} $ 满足 \[ [i = n] = \sum_{j = 0} ^ {n - i} (-1)^{j + i} \dbinom{n}{j + i} t_{j + i, i} \]
考虑用这个式子来代掉左边：\[ [n = 0] = \sum_{i = 0} ^ n (-1) ^ i \dbinom{n}{i} \]
因此\[ [i = n] = \sum_{j = 0} ^ {n - i} (-1) ^ j \dbinom{n - i}{j}\]
$ t_{j + i, i}$ 里面应该有一个组合数的形式，但是下面这个式子里面只有一个组合数，那么我们尝试配上一个。
\[ [i = n] = \sum_{j = 0} ^ {n - i} (-1) ^ j \dbinom{n - i}{j} \dbinom{n}{i}\]
而这个可以处理成：
\[ [i = n] = \sum_{j = 0} ^ {n - i} (-1) ^ j \dbinom{j + i}{i} \dbinom{n}{j + i} \]
比对一下就可以得到 \[ t_{i,j} = (-1)^j \dbinom{i}{j} \]
其它的样子
有一个优(hao)美(bei)的公式：
\[ f_k = \sum_{i = k} ^ n (-1) ^ i \dbinom{i}{k} g_i \Leftrightarrow g_k = \sum_{i = k} ^ n (-1) ^ i \dbinom{i}{k} f_i\]
还有一个实(nan)用(bei)的公式：
\[ f_{k} = \sum_{i = k} ^ {n} \dbinom{i}{k} g_{i} \Leftrightarrow g_{k} = \sum_{i = k} ^ n (-1) ^ {i - k} \dbinom{i}{k} f_i\]
其它的理解
cly_none 告诉了一种奇妙的理解。
考虑 \[ f_{n} = \sum_{i = 0} ^ n \dbinom{n}{i} g_i\] 这个式子，可以改写成：
\[ \frac{f_{n}}{n!} = \sum_{i=0} ^ n \frac{g_i}{i!} \frac{1}{(n-i)!}\]
在指数生成函数下就有 \[ f(x) = g(x) * e^x \]
那么\[ g(x) = f(x) * e^{-x} \] ，直接展开回来就完成了二项式反演。