其他算法-046-孩子们的游戏-圆圈中最后剩下的数(约瑟夫环)

题目描述

每年六一儿童节,牛客都会准备一些小礼物去看望孤儿院的小朋友,今年亦是如此。HF作为牛客的资深元老,自然也准备了一些小游戏。其中,有个游戏是这样的:首先,让小朋友们围成一个大圈。然后,他随机指定一个数m,让编号为0的小朋友开始报数。每次喊到m-1的那个小朋友要出列唱首歌,然后可以在礼品箱中任意的挑选礼物,并且不再回到圈中,从他的下一个小朋友开始,继续0…m-1报数…这样下去…直到剩下最后一个小朋友,可以不用表演,并且拿到牛客名贵的“名侦探柯南”典藏版(名额有限哦!!^_)。请你试着想下,哪个小朋友会得到这份礼品呢？(注：小朋友的编号是从0到n-1)

如果没有小朋友，请返回-1。

分析

这是一个典型的约瑟夫环问题：

• 方法一：建模为循环链表的方法，N个人看作是N个链表节点，节点1指向节点2，节点2指向节点3，……，节点N-1指向节点N，节点N指向节点1，这样就形成了一个环。然后从节点1开始1、2、3……往下报数，每报到M，就把那个节点从环上删除。下一个节点接着从1开始报数。最终链表仅剩一个节点。它就是最终的胜利者。 时间复杂度O(mn)。
  

• 方法二：公式法，约瑟夫环是一个经典的数学问题，我们不难发现这样的依次报数，似乎有规律可循。为此有以下定义：

  • 问题：N个人编号为1，2，……，N，依次报数，每报到M时，杀掉那个人，求最后胜利者的编号。
  • 递推公式： $f(N,M) = (f(N-1,M)+M)\%N$
    • $f(N,M)$表示，N个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号。
    • $f(N−1,M)$表示，N-1个人报数，每报到M时杀掉那个人，最终胜利者的编号。
  • 解释：
    • 我们用数字代表11个人排成一排，假设每报到3的人被杀掉： $1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11$
    • 刚开始时，头一个人编号是1，从他开始报数，第一轮被杀掉的是编号3的人。
    • 编号4的人从1开始重新报数，这时候我们可以认为编号4这个人是队伍的头。第二轮被杀掉的是编号6的人。
    • 编号7的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号7这个人是队伍的头。第三轮被杀掉的是编号9的人。
    • ……
    • 第九轮时，编号2的人开始重新报数，这时候我们可以认为编号2这个人是队伍的头。这轮被杀掉的是编号8的人。
    • 下一个人还是编号为2的人，他从1开始报数，不幸的是他在这轮被杀掉了。
    • 最后的胜利者是编号为7的人。
      过程如图示所示：
      
  • 将上面表格的每一行看成数组，这个公式描述的是：幸存者在这一轮的下标位置，
    • $f(1,3)$：只有1个人了，那个人就是获胜者，他的下标位置是0
    • $f(2,3)=(f(1,3)+3)\%2=3\%2=1$：在有2个人的时候，胜利者的下标位置为1
    • $f(3,3)=(f(2,3)+3)\%3=4\%3=1$：在有3个人的时候，胜利者的下标位置为1
    • $f(4,3)=(f(3,3)+3)\%4=4\%4=0$：在有4个人的时候，胜利者的下标位置为0
    • ……
    • $f(11,3)=6$
  • 问题1 假设我们已经知道11个人时，胜利者的下标位置为6。那下一轮10个人时，胜利者的下标位置为多少？
  • 答 其实吧，第一轮删掉编号为3的人后，之后的人都往前面移动了3位，胜利这也往前移动了3位，所以他的下标位置由6变成3。
  • 问题2 假设我们已经知道10个人时，胜利者的下标位置为3。那下一轮11个人时，胜利者的下标位置为多少？
  • 答 这可以看错是上一个问题的逆过程，大家都往后移动3位，所以 $f(11,3)=f(10,3)+3$。不过有可能数组会越界，所以最后模上当前人数的个数 $f(11,3)=（f(10,3)+3）\%11$
  • 问题3 现在改为人数改为N，报到M时，把那个人杀掉，那么数组是怎么移动的？
  • 答 每杀掉一个人，下一个人成为头，相当于把数组向前移动M位。若已知N-1个人时，胜利者的下标位置位f(N−1,M)，则N个人的时候，就是往后移动M为，(因为有可能数组越界，超过的部分会被接到头上，所以还要模N)，既 $f(N,M)=(f(N−1,M)+M)\%n$。

注 理解这个递推式的核心在于关注胜利者的下标位置是怎么变的。每杀掉一个人，其实就是把这个数组向前移动了M位。然后逆过来，就可以得到这个递推式。因为求出的结果是数组中的下标，最终的编号还要加1。

代码

# -*- coding:utf-8 -*-
class Solution:
    def LastRemaining_Solution(self, n, m):
        # write code here
        if n<1 or m<1:
            return -1
        
        last = 0
        for i in range(2, n+1):
            last = (last + m) % i
            
        return last