二项式定理
最简单的二项式定理常见式
\[ (x+1)^n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}\times x^i \]
将上式改写其形式为下式
\[ (x+1)^n=\sum_{i=0}^{\infty}{n\choose i}\times x^i \]
因为\(i\gt n\)时，\({n\choose i}=0\)，因此等价
考虑将指数扩展到负数域
\[ (x+1)^{-n}=\sum_{i=0}^{\infty}{-n\choose i}\times x^i=\sum_{i=0}^n(-1)^i\times {n+i-1 \choose i}\times x^i \]
我们考虑展开组合数
\[ {-n\choose i}=\frac{(-i)\times (-i-1)\times \cdots\times (-n-i+1)}{i!} \]
提出\(-1\)，得到下式
\[ {-n\choose i}=(-1)^i \times \frac {n\times (n+1)\times \cdots \times (n+i-1)}{i!}=(-1)^i\times {n+i-1\choose i} \]
所以扩展到负数域的二项式定理成立
我们再把\(x\)的系数扩展到负数域上
\[ (-x+1)^n=(1-x)^n=\sum_{i=0}^{\infty}{n\choose i}\times (-x)^i=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^i\times {n\choose i}\times x^i \]
然后再把负指数的二项式定理套上来
\[ (1-x)^{-n}=\sum_{i=0}^{\infty}{n+i-1\choose i}\times x^i \]
生成函数初步入门
先讲一下理论部分
假设我们现在有一个数列
\[ \{a\}=\{a_0,a_1,\cdots,a_n\} \]
那么定义这个数列\(\{a\}\)的生成函数为
\[ A(x)=a_0+a_1 x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n \]