组合数学笔记之二——“二项式系数”

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二项式系数

8/10/2016 5:55:10 PM by 林维

1. Pascal公式

对于满足1 ≤ k ≤ n - 1的所有整数 k 和 n，都有C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k).

pascal三角形 ：

n\k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	…
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6	1
7	1	7	21	35	35	21	7	1
8	1	8	28	56	70	56	28	8	1
…	…	…	…	…	…	…	…	…	…	…

该三角形中的每一项，但不是出现在左边和右边倾斜上等于1的项，通过把上一行的两项加在一起而得到：一项在其直接上方而另一项位于其左边。这和上面的pascal公式是对应的。由此还能得到

1. 对称关系： C(n ,k) = C(n, n - k)；

2. 二项式系数恒等式： C(n, 0) + C(n, 1) + … + C(n, n) = 2n；

3. 在k = 1一列上C(n, 1) = n 是计数数，k = 2 一列上的数C(n, 2) = n(n - 1) / 2 是所谓的三角形数， 在k = 3一列上的数C(n, 3) = n(n - 1)(n - 2) / 3! 是所谓的四面体数。

可以对Pascal三角形做出另一种解释。令n是一个非负整数，并令k为满足0 ≤ k ≤ n的整数。定义p(n, k)为从左上顶点(项C(0, 0) = 1)到项C(n, k)的路径数，其中，在每一条路径，从一项移动到该项下一行在其直接下方的项或其直接右下方的项。于是Pascal三角形的项C(n, k)的值代表从左上角到这项的路径的条数。

2. 二项式定理

定理一： 令n是一个正整数。于是，对所有的x和y,

$$(x + y)^n = x^n + C(n, 1)x^{n-1}y + C(n, 2)x^{n -2}y^2 + ... + C(n, n - 1)xy^{n-1} + C(n, n)y^n$$ 。用求和记号写出，即： $$(x + y)^n = \sum C(n, k)x^{n - k}y^k$$
二项式定理还有几种等价形式： $$(x + y)^n = \sum C(n, n - k)x^{n-k}y^k$$ $$(x+y)^n = \sum C(n, n-k)x^ky^{n-k}$$ $$(s + y)^n = \sum C(n, k)x^ky^{n-k}$$
定理二： 令n是一个正整数。则对所有的x，有 $$(1 + x)^n = \sum C(n, k)x^k = \sum C(n, n - k)x^k$$

3. 一些恒等式

1. kC(n, k) = nC(n-1, k - 1) (n, k均为正整数) ;

2. C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + … + C(n, n - 1) + C(n, n) = 2ⁿ (n ≥ 0) ;

3. C(n, 0) - C(n, 1) + C(n, 2) + … + (-1)ⁿC(n, n) = 0 , 或者可以写成C(n, 0) + C(n, 2) + … + = C(n, 1) + C(n, 3) + … = 2^n-1

4. 1C(n, 1) + 2C(n, 2) + 3C(n, 3) + … + nC(n, n) = n2^n-1

5. C²(n, 0) + C²(n, 1) + C²(n, 2) + … + C²(n, n - 1) + C²(n, n) = C(2n, n)

6. C(r, 0) + C(r+1, 1) + C(r+2, 2) + … + C(r+k, k) = C(r+k+1, k) ;

7. C(0, k) + C(1, k) + … + C(n-1, k) + C(n, k) = C(n+1, k+1);

4. 二项式系数的单峰性

令n是正整数，二项式序列C(n, 0), C(n, 1), C(n, 2), … , C(n, n)是单峰序列。更精确地说

1. n为偶数时， C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, n/2), C(n, n/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n);

2. n为奇数时， C(n, 0) < C(n, 1) < C(n, 2) < … < C(n, (n-1)/2) = C(n, n/2+1), C(n, (n+1)/2) > … > C(n, n -1) > C(n, n)