软考笔记（2）--校验码（海明码）

概念

海明码（Hamming Code）是一种利用奇偶性来检错和纠错的校验方法。海明码的构成方法是在数据位之间的特定位置上插入k个校验位，通过扩大码距来实现检错和纠错。

要点

现在举个例子，以下均以该例子说明。
例子：
有个数据位为8的数据D₇D₆D₅D₄D₃D₂D₁D₀=01101001,求海明码。
先上结果：

H₁₂	H₁₁	H₁₀	H₉	H₈	H₇	H₆	H₅	H₄	H₃	H₂	H₁
D₇	D₆	D₅	D₄	P₄	D₃	D₂	D₁	P₃	D₀	P₂	P₁

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

H₁₂	H₁₁	H₁₀	H₉	H₈	H₇	H₆	H₅	H₄	H₃	H₂	H₁
0	1	1	0	P₄	1	0	0	P₃	1	P₂	P₁

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

H₁₂	H₁₁	H₁₀	H₉	H₈	H₇	H₆	H₅	H₄	H₃	H₂	H₁
0	1	1	0	0	1	0	0	1	1	0	1

要点1（计算校验位个数）

设数据位是n位，校验位是k位，则n和k必须满足以下关系：
2^k - 1 ≥ n + k
例如一个数据的数据位为8位，求需要多少位校验码，则有2^k - 1 ≥ 8 + k，可以得到k最小应该为4，即2⁴ - 1 ≥ 8 + 4。

要点2（计算校验位位置）

2-1 （海明码总位数）

设校验位为P，数据位为D，海明码为H，则海明码H的位数为校验码和数据的位数相加。

2-2 （校验码位置）

校验位P在海明码的第2^i-1位，即H_j = P_i，j=2^i-1，i从1开始计数。无论是海明码、校验位还是数据位，均从右向左排列，即从低位向高位排列。
可先填入校验码的位置，再将数据位依次从低位到高位填入。
例如：

H₁₂	H₁₁	H₁₀	H₉	H₈	H₇	H₆	H₅	H₄	H₃	H₂	H₁
D₇	D₆	D₅	D₄	P₄(2^4-1位)	D₃	D₂	D₁	P₃(2^3-1位)	D₀	P₂(2^2-1位)	P₁(2^1-1位)

要点3 （数据由哪些校验码进行校验）

根据上面求出的校验码的位置或者2^i-1的公式，即可知道P₄、P₃、P₂、P₁的下标分别为8、4、2、1。
现在要确定一下每位数据均由哪些校验码进行校验的。
方法：数据为的下标等于校验位的下标之和。
D₀=H₃，3=2+1，即用H₂、H₁进行校验，即P₂、P₁。
D₁=H₅，5=4+1，即用H₄、H₁进行校验，即P₃、P₁。
D₂=H₆，6=4+2，即用H₄、H₂进行校验，即P₃、P₂。
D₃=H₇，7=4+2+1，即用H₄、H₂、H₁进行校验，即P₃、P₂、P₁。
D₄=H₉，9=8+1，即用H₈、H₁进行校验，即P₄、P₁。
D₅=H₁₀，10=8+2，即用H₈、H₂进行校验，即P₄、P₂。
D₆=H₁₁，11=8+2+1，即用H₈、H₂、H₁进行校验，即P₄、P₂、P₁。
D₇=H₁₂，12=8+4，即用H₈、H₄进行校验，即P₄、P₃。

要点4 （计算校验码的值）

校验码的值为有参与校验的数据依次从低到高异或的值。
由要点3可以看出以下规律：
P₁参与了D₀、D₁、D₃、D₄、D₆等数据位的校验。
P₂参与了D₀、D₂、D₃、D₅、D₆等数据位的校验。
P₃参与了D₁、D₂、D₃、D₇等数据位的校验。
P₄参与了D₄、D₅、D₆、D₇等数据位的校验。
所以：（D₇D₆D₅D₄D₃D₂D₁D₀=01101001）
P₁ = D₀⊕D₁⊕D₃⊕D₄⊕D₆ = 1⊕0⊕1⊕0⊕1 = 1
P₂ = D₀⊕D₂⊕D₃⊕D₅⊕D₆ = 1⊕0⊕1⊕1⊕1 = 0
P₃ = D₁⊕D₂⊕D₃⊕D₇ = 0⊕0⊕1⊕0 = 1
P₄ = D₄⊕D₅⊕D₆⊕D₇ = 0⊕1⊕1⊕0 = 0

要点5（错误校验）

确定错误校验G₄G₃G₂G₁，校验码有几位，错误校验就有几位。
如果采用偶校验则结果全为0时没有错误，如果采用奇校验则结果全为1时没有错误
G₁ = P₁D₀⊕D₁⊕D₃⊕D₄⊕D₆ = 1⊕1⊕0⊕1⊕0⊕1 = 0
G₂ = P₂D₀、D₂、D₃、D₅、D₆ = 0⊕1⊕0⊕1⊕1⊕1 = 0
G₃ = P₃D₁、D₂、D₃、D₇ = 1⊕0⊕0⊕1⊕0 = 0
G₄ = P₄D₄、D₅、D₆、D₇ = 0⊕0⊕1⊕1⊕0 = 0