海明码笔记

纠错编码——海明码

海明码：可发现双比特错，纠正单比特错。

工作流程

确认校验码位数r
确定校验码和数据的位置
求出校验码的值
检错并纠错

01确认校验码位数r

$\text{海明不等式：} 2^r \geq k + r + 1 \\ k为信息位，r为冗余信息位$

原理：

r位冗余信息位共有 $2^r$ 种组合，除去1种标识信息正确，另有 $2^r-1$ 种组合来标识 $2^r - 1$ 位置的错误。则应有标识错误组合数>=总共传输比特位，即 $2^r - 1 \geq k + r$

02确定校验码和数据的位置

假设数据 $D = 101101$

则根据海明不等式得出 $r = 4$

设校验位从左至右为 $P_1、P_2、P_3、P_4$ ，数据从左至右为 $D_1、D_2、D_3、D_4、D_5、D_6$

校验位分别放在2的几次幂位,数据位则从左至右填充空位。

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
代码	$P_1$	$P_2$	$D_1$	$P_3$	$D_2$	$D_3$	$D_4$	$P_4$	$D_5$	$D_6$
实际值			1		0	1	1		0	1

03求出校验码的值

每一个校验位都填在2的幂次位置，所以其"位置的二进制表示"只有一个1，设在右数第r位。该校验位就校验"位置二进制表示"的右数第r位为1的数据。

例如： $P_1$ 位置二进制表示中1在右数第1位，则其校验所有"位置二进制表示"的右数第一位为1的数据，即第 $\ldots$ 位， $P_2$ 校验第 $\ldots$ 位， $P_3$ 校验第 $\ldots$ 位， $P_4$ 校验第 $\ldots$ 位。

校验位要使得其所有校验位置的数据与自己异或为0（可理解为偶校验）。
$\begin{aligned} & P_1 \oplus D_1 \oplus D_2 \oplus D_4 \oplus D5 = 0 & \implies & P_1 \oplus 1 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 0 = 0 & \implies P_1 = 0 \\ & P_2 \oplus D_1 \oplus D_3 \oplus D_4 \oplus D6 = 0 & \implies & P_2 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 = 0 & \implies P_2 = 0 \\ & P_3 \oplus D_2 \oplus D_3 \oplus D_4 = 0 & \implies & P_3 \oplus 0 \oplus 1 \oplus 1 = 0 & \implies P_3 = 0 \\ & P_4 \oplus D_5 \oplus D_6 = 0 & \implies & P_4 \oplus 0 \oplus 1 = 0 & \implies P_4 = 1 \\ \end{aligned}$

将所得校验位数值填入

位置	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
二进制表示	0001	0010	0011	0100	0101	0110	0111	1000	1001	1010
代码	$P_1$	$P_2$	$D_1$	$P_3$	$D_2$	$D_3$	$D_4$	$P_4$	$D_5$	$D_6$
实际值	0	0	1	0	0	1	1	1	0	1

即所传输数据为0010 0111 01

04检错并纠正

假设传输过程中第5位即 $D_2$ 出错，收到的结果为 0010 1111 01

按照求校验值方式进行异或计算
$\begin{aligned} & P_1 \oplus D_1 \oplus D_2 \oplus D_4 \oplus D5 & = & 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 0 & = 1 & \\ & P_2 \oplus D_1 \oplus D_3 \oplus D_4 \oplus D6 & = & 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 & = 0 \\ & P_3 \oplus D_2 \oplus D_3 \oplus D_4 & = & 0 \oplus 1 \oplus 1 \oplus 1 & = 1 \\ & P_4 \oplus D_5\oplus D_6 & = & 1 \oplus 0 \oplus 1 & = 0 \end{aligned}$
从下到上排序结果 0101，对应十进制5，即第5位出错，只需将其从1改为0即可。

注：单比特、双比特出错都可检测出，但只能纠正单比特错误。若出现双比特出错，那么根据海明码校验结果只能表示出错误，即校验结果不全0，但其对应的位置不一定出错，这种情况下海明码默认当作单比特出错而进行纠错，就会出现纠错也错误问题。

原理：当某一校验位检错异或出1时，说明出错位的"位置二进制表示"的该位置一定是1，若异或出0，则说明出错位的"位置二进制表示"的该位置为0。则校验结果从下至上排序正好表示了出错位的"位置二进制表示"。

个人理解，若有错误或您有更好的理解，望斧正。

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