计算机组成原理学习笔记-海明校验码

说明：可以先看实际举例再回头看其他说明便于快速理解。

一、特点

既可检错也可纠错

二、用途背景

原因：信息传输时因为种种原因会出现部分信息发生改变的情况，即二进制信息的某个别位出现错误的情况。
用途：通过在原信息的特定位置加上海明码的方法，来实现对一串数据位中的某个（注意是“某个”，大多数情况下只会出现一个位出错，
若多位出错则该校验法失效）出错位的纠错（即错误定位和纠正）

二、预备定义和文本约定

1. 信息位：用于存放要传输信息数据的二进制0和1；
2. 校验位：即在原本信息位中插入的二进制校验码0和1。
3. 信息码：信息位构成的二进制序列
4. 海明校验码（后面简称校验码）：由所有校验位组成的二进制序列
5. I $_ 1$……I $_ n$：第一到第n个信息位
6. r $_0$……r $_ n$：第一到第n个校验位

三、主要步骤

1. 确定校验位个数：根据要传输的信息位个数，确定要插入的校验位个数，要满足2^r ≥ I + r + 1（r为校验位个数，I为信息位个数）
2. 确定校验位插入位置：由低位到高位依次插入所有位，要求2ⁿ位置下插入的都是校验位
3. 确定校验码并插入：1. 求出每个信息位的位置十进制拆解成2的幂次方多项式之和，每个系数不为0的幂次方(假设为n)确定将影响r $_n$的值的信息位。（比如：第7位要插入I $_4$，十进制位置7拆解为2²+2¹+2⁰，即说明这个信息位I $_4$会影响r $_2$,r $_1$,r $_1$）。然后r $_n$=每个会影响该校验位的信息位的异或
4. 数据传输
5. 接收数据
6. 重新求校验码：因为接受的数据校验位的位置可以确定，即用忽略掉所有2ⁿ位后得到的信息位按照3重新求得校验码
7. 校验码比对：取接收的校验码和重新求得的校验码按位进行异或操作，得到一个与校验码的等长二进制序列.
8. 错误定位 ： 将上述等长序列化为十进制，即得到出错位所在的位置。
9. 纠错：对接收数据中的出错位取反

四、核心思想

n个校验位能记录至多2ⁿ-1个位的奇偶信息：

• **为什么-1？**这里是为了巧妙利用校验位的安插位置，使得校验位的改变，能表示出错的十进制位置化成二进制后，对应位的改变。传输数据的n个位从1开始。因此去掉全0的序列。
• （去掉全0的序列后） n个校验位组成的二进制序列有2ⁿ种，每种序列化为十进制d，确定传输数据中d位置的位的状态，通过传输前后校验码的异或比对，即能确定状态发生改变的位的位置，即实现的错误定位。而对二进制的纠错，只需对出错位取反即可。

四、实际举例

假设要传输二进制信息10111，五位信息位为I₅I₄I₃I₂I₁，而接收到的信息码为11111,整个传输及纠错流程又是怎样？

1. 确定校验位个数r
   代入公式2^r ≥ I + r + 1 后，2^r ≥ 5 + r + 1,得到r=4.
2. 确定校验位插入位置
   校验位个数确定，总位数就确定为9位了。对应2ⁿ位置下将插入的都是校验位，剩下的依次将插入信息位，如下表：

9	8	7	6	5	4	3	2	1	总位数
I5		I4	I3	I2		I1			信息位
	r3				r2		r1	r0	校验位

3. 确定校验码并插入
   ∵I₅的位置为9 = 2³+2⁰，影响r₃,r₀.
   I₄的位置为7 = 2²+2¹+2⁰，影响r₂,r₁,r₀.
   I₃的位置为6 = 2²+2¹，影响r₂,r₁.
   I₂的位置为5 = 2²+2⁰，影响r₂,r₀.
   I₁的位置为3 = +2¹+2⁰，影响r₁,r₀.
   r₀ = I₁ ⊕I₂⊕ I₄⊕I₅ = 1
   r₁ = I₁ ⊕ I₃⊕I₄ = 0
   r₂ = I₂⊕ I₃⊕ I₄ = 0
   r₃ = I₅ = 1
   得到校验码为：1001
   插入后如下表：

9	8	7	6	5	4	3	2	1	总位数
1		0	1	1		1			信息位
	1				0		0	1	校验位

4. 传输后接收后重新计算海明校验码
   接收到的数据如下表

9	8	7	6	5	4	3	2	1	总位数
1		1	1	1		1			信息位
	1				0		0	1	校验位

同步骤3，求得新校验码为：1110

5. 校验码比对
   用新校验码1111与接收到的旧校验码1001进行按位异或运算，得到：0111

6. 错误定位
   将5求得的比对结果化为十进制为7，即得出接收数据中，错误位置为7

7. 纠错
   对错误位置按位取反

9	8	7	6	5	4	3	2	1	总位数
1		1->0	1	1		1			信息位
	1				0		0	1	校验位

得到信息码为10111,即为正确信息

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