题目描述：
熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。
小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。
小沐沐说，对于两个数列A和B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。
奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。
不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。
数列A和B的长度均不超过3000。
输入格式
第一行包含一个整数N，表示数列A，B的长度。
第二行包含N个整数，表示数列A。
第三行包含N个整数，表示数列B。
输出格式
输出一个整数，表示最长公共子序列的长度。
数据范围
1≤N≤3000
,序列中的数字均不超过231−1
输入样例：
4
2 2 1 3
2 1 2 3
输出样例：
2
分析：
本题要求a与b中公共子序列中的最长上升子序列，是LCS与LIS的综合问题。LCS问题中，f[i][j]表示a中前i个元素与b中前j个字符的最长公共子序列的长度，状态转移方程为a[i] == b[j]时，f[i][j] = f[i-1][j-1] + 1;a[i] != b[j]时，f[i][j] = max(f[i-1][j],f[i][j-1])。LIS问题中f[i]表示以a[i]为末尾的最长上升子序列长度。如果我们直接用f[i][j]表示a中前i个元素与b中前j个元素的最长公共上升子序列的长度。而求上升子序列时需要知道上升子序列是以哪个元素结尾的，否则无法扩展LIS的长度，所以不妨加个限制，即f[i][j]表示a中前i个元素与b中前j个元素的最长公共上升子序列的长度，且该子序列以b[j]结尾。
现在仿照LCS问题，对两个字符串的末字符进行比较，a[i] == b[j]时，f[i][j] = max(f[i - 1][k]) + 1，其中k < j,且b[k] < b[j]。之所以是f[i-1][k]而不是f[i-1][j-1]是因为这里的f加了以b[j]为末尾的限制，所以需要仿照LIS考察b[j]前的所有的元素。a[i] != b[j]时，由于最长公共上升子序列是以b[j]结尾的，所以a[i]肯定对该子序列没有贡献，于是f[i][j] = f[i-1][j]。这里注意在LIS问题中，边界条件是f[i] = 1，对本题而言，只要a的前i个元素与b的前j个元素有一个公共元素，则f[i][j]就应该不小于1，所以可以在a[i] == b[j]成立时，令f[i][j] = max(f[i][j],1)，以此作为边界条件。代码如下：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 3005;
int a[N],b[N],f[N][N];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",&b[i]);
for(int i = 1;i <= n;i++){
for(int j = 1;j <= n;j++){
f[i][j] = f[i-1][j];
if(a[i] == b[j]){
f[i][j] = max(f[i][j],1);
for(int k = 1;k < j;k++){
if(b[j] > b[k]) f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][k] + 1);
}
}
}
}
int res = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++) res = max(res,f[n][i]);
cout<<res<<endl;
return 0;
}这里有个特别的现象就是f[i][j] = max(f[i][j],f[i - 1][k] + 1);，也可以写成f[i][j] = max(f[i][j],f[i][k] + 1);因为该式只有在a[i] = b[j] > b[k]时才被触发，所以在求f[i][k]时，执行完f[i][k] = f[i-1][k]后不会满足a[i] == b[k]的条件，原因很简单，a[i] = b[j] > b[k]，所以满足a[i] == b[j] > b[k]条件时，f[i][k] = f[i-1][k]。如果把递推式写成f[i][j] = max(f[i][j],f[i][k] + 1)，我们可以在前面遍历其他状态时把满足a[i] > b[k]时前k个状态的f[i][k] + 1的最大值存储下来。从而将三层循环降至两层循环。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 3005;
int a[N],b[N],f[N][N];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",&b[i]);
for(int i = 1;i <= n;i++){
int t = 1;
for(int j = 1;j <= n;j++){
f[i][j] = f[i-1][j];
if(a[i] == b[j]){
f[i][j] = max(f[i][j],t);
}
else if(b[j] < a[i]) t = max(t,f[i][j] + 1);
}
}
int res = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++) res = max(res,f[n][i]);
cout<<res<<endl;
return 0;
}另外，由于求f[i][j]时只用到了上一层的状态，所以同样可以用滚动数组实现，理论上由于f[i][j]用到了上一层左边的状态，使用滚动数组在循环时需要倒着枚举以免结果被覆盖，但是由于满足a[i] = b[j] > b[k]时f[i][k] = f[i-1][k]，因此覆盖后的值依旧是上一层的值，所以不用改变枚举顺序。
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 3005;
int a[N],b[N],f[N];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",&b[i]);
for(int i = 1;i <= n;i++){
int t = 1;
for(int j = 1;j <= n;j++){
if(a[i] == b[j]){
f[j] = max(f[j],t);
}
else if(b[j] < a[i]) t = max(t,f[j] + 1);
}
}
int res = 0;
for(int i = 1;i <= n;i++) res = max(res,f[i]);
cout<<res<<endl;
return 0;
}