【ACWing】272. 最长公共上升子序列

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/274/

给定两个长度都是$n$的序列$A$和$B$，求其最长公共上升子序列的长度。

输入格式：
第一行包含一个整数$n$，表示数列$A$，$B$的长度。第二行包含$n$个整数，表示数列$A$。第三行包含$n$个整数，表示数列$B$。

输出格式：
输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围：
$1\le n\le 3000$，序列中的数字均不超过$2^{31}-1$

思路是动态规划。设$f[i][j]$是$A$的长$i$的前缀和$B$的长$j$的前缀里的最长公共上升子序列的长度。我们可以分为两种情况，一种是含$A$的第$i$个数的，一种是不含（这里我们把$A$的第$i$个数直接写为$A[i]$了）。不含$A[i]$的最长公共上升子序列，实际就是$A$的长$i-1$的前缀和$B$的长$j$的前缀里的最长公共上升子序列，那么长度就是$f[i-1][j]$；对于含$A[i]$的，我们并不能知道$A[i]$是否能接到某个长度为$f[i][k],k<j$的后面，所以要修改一下状态的定义。我们可以重新定义$f[i][j]$是$A$的长$i$的前缀和$B$的长$j$的前缀里的，并且以$B[j]$结尾的最长公共上升子序列的长度，那么最终答案就是要求${\max }_{1\le j\le n}f[n][j]$（当然也有可能无法包含$B$的任意的字符，此时不存在公共子序列，答案是$0$）。考虑$f[i][j]$，对于不含$A[i]$的最长公共上升子序列，答案仍然是$f[i-1][j]$；对于含$A[i]$的最长公共上升子序列，含$A[i]$当然意味着以$A[i]$结尾，而$f[i][j]$的定义里又要求以$B[j]$结尾，所以此时要求$A[i]=B[j]$，并且有$f[i][j]=1+{\max }_{k<j\wedge B[k]<B[j]=A[i]}f[i-1][k]$。综上，有： f [ i ] [ j ] = max ⁡ { f [ i − 1 ] [ j ] , 1 + max ⁡ k < j ∧ B [ k ] < A [ i ] f [ i − 1 ] [ k ] } f[i][j]=\max\{f[i-1][j],1+\max_{k<j\land B[k]<A[i]}f[i-1][k]\} f[i][j]=max{ f[i−1][j],1+k<j∧B[k]<A[i]max​f[i−1][k]}在从$1$到$n$遍历$j$的时候，我们可以用一个变量来存一下${\max }_{k<j\wedge B[k]<A[i]}f[i-1][k]$，这样就不用再来一层循环找最大值了。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 3010;
int n;
int a[N], b[N];
int f[N][N];

int main() {
    
    
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &b[i]);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
    	// 维护maxv是满足b[k] < a[i]的情况下，最大的f[i - 1][k]
        int maxv = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
    
    
        	// 枚举不含a[i]的
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            // 枚举含a[i]的
            if (a[i] == b[j]) f[i][j] = max(f[i][j], maxv + 1);
            if (b[j] < a[i]) maxv = max(maxv, f[i - 1][j]);
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) res = max(res, f[n][i]);

    cout << res << endl;

    return 0;
}

时间复杂度$O(n^2)$，空间$O(n)$。