【ACWing】897. 最长公共子序列

题目地址：

https://www.acwing.com/problem/content/899/

给定两个长度分别为$N$和$M$的字符串$A$和$B$，求既是$A$的子序列又是$B$的子序列的字符串长度最长是多少。

数据范围：
$1\le N,M\le 1000$

思路是动态规划。设$f[i][j]$是$A$的前$i$个字符和$B$的前$j$个字符的最长公共子序列的长度。当$A[i]\ne B[j]$的时候，显然 f [ i ] [ j ] = max ⁡ { f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j − 1 ] } f[i][j]=\max\{f[i-1][j],f[i][j-1]\} f[i][j]=max{ f[i−1][j],f[i][j−1]}；当$A[i]=B[j]$的时候$f[i][j]=1+f[i-1][j-1]$，原因是，首先显然$f[i][j]\ge 1+f[i-1][j-1]$，其次，如果$f[i][j]>1+f[i-1][j-1]$的话，如果取到$f[i][j]$最后一个相等的字符是$A[i]$和$B[j]$，那么$f[i][j]=1+f[i-1][j-1]$，矛盾；如果不是，则有 f [ i ] [ j ] = max ⁡ { f [ i − 1 ] [ j ] , f [ i ] [ j − 1 ] } f[i][j]=\max\{f[i-1][j],f[i][j-1]\} f[i][j]=max{ f[i−1][j],f[i][j−1]}，如果是$f[i-1][j]>1+f[i-1][j-1]$的话，同样考虑取到$f[i-1][j]$的最后一个字符，如果用到了$t[j]$就会得出$1+f[i-1][j-1]>1+f[i-1][j-1]$矛盾；如果没用到，就会得出$f[i-1][j-1]>1+f[i-1][j-1]$也矛盾。所以有$f[i][j]=1+f[i-1][j-1]$。代码如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 1010;
string s, t;
int n, m;
int f[N][N];

int main() {
    
    
    cin >> n >> m;
    cin >> s >> t;

    s = ' ' + s;
    t = ' ' + t;

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= m; j++) 
            if (s[i] == t[j]) f[i][j] = 1 + f[i - 1][j - 1];
            else f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);

    cout << f[n][m] << endl;

    return 0;
}

时空复杂度$O(NM)$。